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第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算第一课时交集与并集自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.1．交集(1)一般地，对于两个给定的集合A，B，既属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作_____，读作“A交B”．符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)对于任意两个集合A，B都有A∩B___B∩A；A∩A＝___；A∩∅＝___；如果A⊆B，则__________.A∩B＝A∅A∩B＝A2．并集(1)一般地，对于给定的集合A，B，由两个集合的__________构成的集合，叫做A与B的并集，记作______，读作“A并B”，符号表示：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(2)对于任意两个集合A，B有A∪B＝______；A∪A＝___；A∪∅＝___；如果A⊆B，则_________.A∪BB∪AAAA∪B＝B所有元素1．(2018·江苏卷)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.解析：由题设和交集的定义可知，A∩B＝{1,8}．答案：{1,8}2．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝________.解析：N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0,3,9}，∴M∪N＝{0,1,3,9}．答案：{0,1,3,9}3．若集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x4}，则M∪N＝________，M∩N＝________.答案：{x|x－5或x－3}{x|4x≤5}典例精析规律总结课堂互动探究1交集类型(1)设集合A＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，集合B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则A∩B＝()A．{－1，－4}B．{0}C．{1,4}D．∅(2)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝________.【解析】(1)A＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{4,1}，∴A∩B＝∅，故选D．(2)如图所示．A∩B＝{x|2＜x＜3}．【答案】(1)D(2){x|2＜x＜3}【知识点拨】A∩B是一个集合，是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．当两个集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有交集，而是A∩B＝∅.A∩B用图形语言可以表示为已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q＝()A．{1,2,3}B．{2,3}C．{1,2}D．{2}解析：由题可知P＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q＝{2，－3}，∴P∩Q＝{2}．故选D．答案：D2并集类型(1)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|－2≤x＜1}，求A∩B及A∪B；(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2－2x，x∈R}，求A∩B及A∪B.【分析】对于(1)，可根据数轴表示交集、并集的定义来求解，特别注意端点的数是否在其中．对于(2)，A，B中的元素y分别是抛物线y＝x2－2x－2和y＝－x2－2x上点的纵坐标．【解】(1)在数轴上画出A，B表示的区域(如右图)，由此可得A∩B＝{x|－1＜x＜1}，A∪B＝{x|－2≤x≤3}．(2)∵A＝{y|y＝(x－1)2－3，x∈R}＝{y|y≥－3}，B＝{y|y＝－(x＋1)2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{y|－3≤y≤1}，A∪B＝R.【知识点拨】集合A∪B是由所有属于A或属于B的元素组成，其中“或”字的含义包括三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B，其中A与B的公共元素只能算一次．A∪B用图形可以表示为设集合A＝{－1,0}，集合B＝{0,1,2}，则A∪B的子集个数是()A．4B．8C．16D．32解析：A∪B＝{－1,0,1,2}，∴A∪B的子集的个数为24＝16，故选C．答案：C集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析：由题意可知a＝4，故选D．答案：D3交集与并集的综合应用类型已知集合A＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，B＝{x|x≤3或x＞5}．(1)若a＝4，求A∩B；(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．【解】(1)当a＝4时，A＝{x|5≤x≤7}，B＝{x|x≤3或x＞5}，∴A∩B＝{x|5＜x≤7}．(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.若2a－1＜a＋1，∴a＜2时，A＝∅，满足A⊆B.若2a－1≥a＋1，即a≥2时，要使A⊆B，则需2a－1≤3，a≥2或a＋1＞5，a≥2.解得a＝2或a＞4.综上所述，a的取值范围为{a|a≤2或a＞4}．【知识点拨】①在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时借助交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．②当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定运算时，要考虑B＝∅的情形，切不可漏掉．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2x10}，C＝{x|xa}．(1)求A∪B；(2)若A∩C＝A，求a的取值范围．解：(1)A∪B＝{x|2x10}．(2)若A∩C＝A，则A⊆C，∴a7.高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？解：如图所示，设U＝{高一(3)班学生}，A＝{高一(3)班参加语文小组的学生}，B＝{高一(3)班参加数学小组的学生}，则A∩B＝{高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生}．有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名学生．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一并集的运算1．已知集合A＝{1,2}，B＝{2}，则A∪B＝()A．{2}B．{2,4}C．{1}D．{1,2}答案：D知识点二交集的运算2．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，A＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．{－3，－2，－1}解析：M∩N＝{－2，－1,0}，故选C．答案：C3．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P等于()A．(1，－1)B．{x＝1}∪{y＝1}C．{1，－1}D．{(1，－1)}解析：由x＋y＝0，x－y＝2，得x＝1，y＝－1，∴M∩P＝{(1，－1)}，故选D．答案：D知识点三并集与子集4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．8解析：∵A∪B＝{1,2,3}，∴B中一定含有元素3，∴满足条件的B有{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，故选C．答案：C知识点四集合的运算5．已知A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，B∩A＝{9}，求A∪B.解：∵B∩A＝{9}，∴x2＝9或2x－1＝9.当x2＝9时，x＝3或x＝－3.x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，不符合题意．当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，符合题意．当2x－1＝9时，x＝5，此时A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，B∩A＝{－4,9}，不符合题意．∴x＝－3.∴A∪B＝{9，－7，－4，－8,4}．