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第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．能使用Venn图表达集合间的关系．3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.1．子集一般地，如果集合A中的______________都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作______或______，读作“A包含于B”，或“B包含A”．如果集合P中存在着不是集合Q的元素，那么集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作______或______.A⊆BB⊇AP⊆/QQ⊉P任意一个元素2．真子集如果集合A是集合B的子集，并且_______________________________，那么集合A叫做集合B的真子集，记作______或______.读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．3．集合的相等如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，__________________________________________，那么我们就说集合A等于集合B，记作______.B中至少有一个元素不ABBA集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B属于A4．集合关系与其特征性质之间的关系(1)通过判断两个集合之间的关系，可以判断它们的特征性质之间的关系；反过来，也可用集合特征性质之间的关系，判断集合之间的关系．(2)“推出”用符号“___”表示，“互相推出”用符号“___”表示．⇒⇔(3)设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有集合间的关系特征性质间的关系A⊆B____________A⊇B____________A＝B____________p(x)⇒q(x)p(x)⇐q(x)p(x)⇔q(x)1．集合A＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,1,2}，则A与T的关系为()A．A⊆/TB．ATC．ATD．A＝T答案：C2．用适当的符号(∈，∉，＝，，)填空：(1)0______{0}；0______∅；∅______{0}；(2)∅_____{x|x2＋1＝0，x∈R}；{0}______{x|x2＋1＝0，x∈R}．答案：(1)∈∉(2)＝3．已知集合M＝{a,2,3＋a}，N＝{3,2，a2}，若M＝N，则a＝________.解析：由题意得a＝3，3＋a＝a2或a＝a2，3＋a＝3，解得a＝0.答案：0典例精析规律总结课堂互动探究1集合间关系的判定类型(1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()(2)下列选项中的M与N相等的是()A．M＝{x∈R|x2＋0.01＝0}，N＝{x|x2＝0}B．M＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|x＝y2＋1，y∈R}C．M＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，N＝{y|y＝(x－1)2＋2，x∈R}D．M＝{x|x＝2k，k∈Z}，N＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}【解析】(1)N＝{x∈R|x2－x＝0}＝{0,1}，则NM.故选B．(2)A中M＝∅，N＝{0}，M≠N；B中M与N分别表示y＝x2＋1，x＝y2＋1上的点集，M≠N；C中M＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝{y|y≥2}，N＝{y|y＝(x－1)2＋2，x∈R}＝{y|y≥2}，M＝N；D中N⊆M.故选C．【答案】(1)B(2)C【知识点拨】(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.(3)由子集的定义可知任意一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(4)规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.设集合M＝{x|x＝90°·k＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝180°·k±45°，k∈Z}，则M，N的关系是()A．M＝NB．M≠NC．MND．NM解析：M＝{x|x＝90°·k＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝180°·k±45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，∴M＝N.答案：A2由集合间的关系求参数范围类型(1)已知集合A＝{x|x2－4＝0}，集合B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，求实数a的取值集合；(2)已知A＝{x|x＜－2或x＞3}，B＝{x|4x＋m＜0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围．【解】(1)集合A＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}，当B＝∅时，a＝0，B⊆A；当B≠∅时，∵B⊆A，若2∈B，则2a－2＝0，a＝1，若－2∈B，则－2a－2＝0，a＝－1.∴实数a的取值集合为{0,1，－1}．(2)∵A⊇B，B＝{x|4x＋m＜0}＝xx＜－m4，∴－m4≤－2，∴m≥8.∴实数m的取值范围为m≥8.【知识点拨】(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则a－b＝________.解析：∵由题可知a≠0，b≠0，∴b＝1，a＋b＝0或a＋b＝0，b＝a，ba＝1，∴b＝1，a＝－1.∴a－b＝－2.答案：－23有限集合的子集的确定类型已知集合A＝{x|x－2≤0，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．5B．4C．3D．2【解析】A＝{x|x－2≤0，x∈N}＝{0,1,2}，B＝{x|x≤2，x∈Z}＝{0,1,2,3,4}，若A⊆C⊆B，则C为{0,1,2}，{0,1,2,3}，{0,1,2,4}，{0,1,2,3,4}，故选B．【答案】B【知识点拨】求解有限集合的子集问题首先确定所求集合，再按照子集所含元素的个数依次写出，但要注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．若集合A满足A⊆B，且A⊆C，其中B＝{1,2,3,5,9}，C＝{0,2,3,5,8,9}，则满足上述条件的集合A的个数为()A．15B．16C．7D．8解析：B与C中的公共元素为2,3,5,9共4个，所以集合A是集合{2,3,5,9}的子集，所以符合条件的集合A共有16个．答案：B即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一子集的概念1．若集合A＝{x|x－3}，则()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A答案：D知识点二集合间的关系2．已知集合A＝{x|2x－3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则集合A与集合B的关系为()A．ABB．BAC．A＝BD．不确定解析：A＝{x|2x－3＜3x}＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，∴BA，故选B．答案：B知识点三子集个数的确定3．集合A＝{x|0≤x3，x∈N}的真子集的个数为()A．4B．7C．8D．16解析：A＝{x|0≤x3，x∈N}＝{0,1,2}．A中含有3个元素，所以真子集有7个，故选B．答案：B知识点四集合相等4．若{a,0,1}＝c，1b，－1，则a＝________，b＝________，c＝________.解析：由集合相等知：a＝－1，c＝0，1b＝1，∴a＝－1，b＝1，c＝0.答案：－110知识点五集合间的关系的应用5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)由AB，则a＞2.(2)由B⊆A，则1≤a≤2.