2020年高中数学 第四章 圆与方程章末复习与总结课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程章末复习与总结1．求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程．【例1】有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．[解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得a－32＋b－62＝a－52＋b－22＝r2，b－6a－3×43＝－1.解得a＝5，b＝92，r2＝254.∴圆的方程为(x－5)2＋y－922＝254.解法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，得32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－3×43＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F＝39.∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.解法三：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－34(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝6－23－5＝－2，∴kBP＝12，∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，得x＝7，y＝3.∴P(7,3)．∴圆心为AP中点5，92，半径为|AC|＝52.∴所求圆的方程为(x－5)2＋y－922＝254.2．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．【例2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．[解](1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d＝|－3k－1－4k|1＋k2，从而k(24k＋7)＝0.即k＝0或k＝－724，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即|1－k－3－a－b|1＋k2＝5＋1k4－a－b1＋1k2，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值范围有无穷多个，所以a＋b－2＝0，b－a＋3＝0或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，解得a＝52，b＝－12或a＝－32，b＝132.这样点P只可能是点P152，－12或点P2－32，132.经检验点P1和P2满足题目条件．3．与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．【例3】在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．[解]如图所示，建立平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)．设内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，整理得x2＋y2－2x－2y＝－1.①由已知得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②由①可知x2＋y2－2y＝2x－1，③将③代入②得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.∵0≤x≤2，∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π|PA|22＋π|PB|22＋π|PO|22＝π4(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.1．分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．【例4】已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．[解]圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径长r＝5.①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由题意可知|－k＋2＋4k－3|1＋k22＋822＝52，解得k＝－43，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.2．数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的概率．【例5】已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．[解]画图如下：由直线方程易知l2平行于x轴，l1与l3互相垂直，∴三个交点A，B，C构成直角三角形，∴经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．由x－2y＝0，y＋1＝0，解得x＝－2，y＝－1.∴点A的坐标为(－2，－1)．由2x＋y－1＝0，y＋1＝0，解得x＝1，y＝－1.∴点B的坐标为(1，－1)．∴线段AB的中点坐标为－12，－1.又∵|AB|＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是x＋122＋(y＋1)2＝94.易错点1求解圆方程漏解致误【例6】已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]解法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．[易错点拨]易错点2过一点求圆的切线方程时致误【例7】过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是()A．y＝1B．x＝3C．x＝3或y＝1D．不确定[解析]由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝|2k－0＋1－3k|1＋k2＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1.当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.[答案]C1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在．[易错点拨]易错点3空间直角坐标系的应用误区【例8】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．[解]取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．[易错点拨]