2020年高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2

第四章圆与方程4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．掌握空间两点间的距离公式．学习目标‖自主导学‖预习课本P134～P137，思考并完成以下问题．知识点一|空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：1________________，这样就建立了一个2____________________.x轴、y轴、z轴空间直角坐标系Oxyz②相关概念：3_______叫做坐标原点，4______________叫做坐标轴．通过5______________的平面叫做坐标平面，分别称为6______平面、7______平面、8______平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向9_____的正方向，食指指向10_____的正方向，如果中指指向11_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．点Ox轴、y轴、z轴每两个坐标轴xOyyOzzOxx轴y轴z轴2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用12___________________来表示，13_____________________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作14_____________．其中15____叫做点M的横坐标，16____叫做点M的纵坐标，17___叫做点M的竖坐标．有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)xyz[思考探究]………………|辨别正误|判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(0,0,3)位于xOy平面内．()×(2)点M(1,0,0)位于x轴上．()√(3)点N(－2,0,3)的位置在xOz平面内．()√(4)在空间直角坐标系中，若P(2，b,4)，Q(－2，－3，c)关于原点对称，则b＋c＝－2.()×知识点二|空间两点间的距离1．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.‖小试身手‖1．点M(1,2,3)到原点的距离为()A．6B.6C．14D.14答案：D2．点A(2,1，－4)到y轴的距离为．答案：25剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一空间中点的坐标的求法【例1】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，12.由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM＝12，FN＝12，故F点坐标为12，12，0.点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝34，故G点坐标为0，34，0.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点．故HK＝12，CK＝18，∴DK＝78，故H点坐标为0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键.|方法总结|1．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5，点A为坐标原点，且点B，D，A′分别在x轴、y轴和z轴上，所以它们的坐标分别为A(0,0,0)，B(12,0,0)，D(0,8,0)，A′(0,0,5)．点C，B′，D′分别在xOy平面、xOz平面、yOz平面内，坐标分别为C(12,8,0)，B′(12,0,5)，D′(0,8,5)．点C′在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A′，故点C′的坐标为(12,8,5)．题型二求空间中对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.|方法总结|2．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为；点P关于z轴的对称点P2的坐标为．解析：点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1)．答案：(1,1，－1)(－1，－1,1)3．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为．解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．答案：(2，－3,1)4．求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．解：如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使|AM|＝|CM|，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)题型三空间中两点间的距离问题考向1求空间两点间的距离【例3】已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．[解](1)由空间两点间距离公式得：|AB|＝1－22＋5－32＋2－42＝3，|BC|＝2－32＋3－12＋4－52＝6，|AC|＝1－32＋5－12＋2－52＝29.∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.(2)由中点坐标公式得AC的中点坐标为2，3，72，∴AC边上中线的长度为2－22＋3－32＋4－722＝12.考向2空间两点间距离公式的应用【例4】已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．[解]∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，即x＋z＝1.①又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，即2x＋z＝0.②由①②得x＝－1，z＝2，∴点P的坐标为(－1,0,2).解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.|方法总结|5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥B1P.证明：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P12，12，1.由空间两点间的距离公式得|AP|＝1－122＋0－122＋0－12＝62，|B1P|＝1－122＋1－122＋1－12＝22，|AB1|＝1－12＋0－12＋0－12＝2.所以|AP|2＋|B1P|2＝|AB1|2，所以AP⊥B1P.6．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解：如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)．因为M为BC1的中点，所以由中点公式得M4＋02，0＋42，0＋42，即M(2,2,2)，又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4)．所以由两点间的距离公式得|MN|＝2－22＋2－02＋2－42＝22.知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个模型：结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．2．一个公式：学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．一个思想：在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．「自测检评」1．点P(－2,0,3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：选C因为点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内．2．设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1,0,0)B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0)D．(1,0,0)或(－1,0,0)解析：选D因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x,0,0)．由题意，知|PP1|＝2|PP2|，所以x－02＋0－22＋0－32＝2x－02＋0－12＋0＋12.解得x＝±1.所以所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．3．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，－2，－7)B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7)D．(1,2，－7)解析：选A点A关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A.4．设点B是点A(2，－3,5)关于平面xOy的对称点，则A，B两点的距离为()A．10B.10C.38D．38解析：选A∵点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴|AB|＝