2020年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.3 点到直线的距离

第三章直线与方程3．3直线的交点坐标与距离公式3．3．3点到直线的距离3．3．4两条平行直线间的距离登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题．2．掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离．学习目标‖自主导学‖预习课本P106～P109，思考并完成以下问题．知识点一|点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与1______之间的距离，就是该点到直线的距离．2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝2________________.垂足|Ax0＋By0＋C|A2＋B2[思考探究]………………|辨别正误|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()×(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.()√2．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？[提示]点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．知识点二|两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的3___________的长度就是两条平行直线间的距离．2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝4________________.公垂线段|C1－C2|A2＋B2[思考探究]………………|辨别正误|两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|A2＋B2时对两条直线应有什么要求？[提示]两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等．剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一点到直线的距离【例1】求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程．[解]解法一：由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2－1－2＝x－13－1，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意．故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.解法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件得2＝k＋b，|2k－3＋b|k2＋1＝|4k＋5＋b|k2＋1，化简得k＋b＝2，k＝－4或k＋b＝2，3k＋b＋1＝0，所以k＝－4，b＝6或k＝－32，b＝72.所以所求直线l的方程为y＝－4x＋6或y＝－32x＋72，即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.1．求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．3．几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.|方法总结|1．若点P(3，a)到直线x＋3y－4＝0的距离为1，则实数a的值为()A.3B．－33C．－3或33D．－33或3解析：选D由点到直线的距离公式得|3＋3a－4|2＝1，解得a＝3或a＝－33.2．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0解析：选A当所求直线l与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大．∵kOA＝2，∴kl＝－12.∴所求直线方程为y－2＝－12(x－1)．即x＋2y－5＝0.题型二两平行线间的距离考向1求两平行线间的距离【例2】求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．[解]由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋52＝0，∴d＝1－5232＋52＝3234＝36834.考向2由两平行直线间距离求直线的方程【例3】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．[解]设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式，得2＝|C－6|52＋－122，解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.|方法总结|1．针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2.2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c＋2a的值为()A．－1B．1C．0D．－1或1解析：选D由题意，得63＝a－2≠c－1，所以a＝－4，c≠－2.所以直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x－2y＋c2＝0.由两平行线间的距离公式，得c2＋113＝21313，即c2＋1＝2，解得c＝2或－6，所以c＋2a＝－1或1，故选D.4．若直线m被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则直线m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是．解析：两平行线间的距离d＝|3－1|1＋1＝2，故m与l1或l2的夹角为30°.又l1，l2的倾斜角为45°，∴直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤题型三距离的综合应用【例4】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0得正方形的中心坐标为P(－1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c|12＋32，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴|－3＋a|32＋－12＝|－1－5|12＋32，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.|方法总结|5．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为()A．3B.32C.32D.3解析：选B由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝|－10－5|62＋82＝32，即|PQ|的最小值为32.6．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为．解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得|m＋7|2＝|m＋5|2⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为|－6|2＝32.答案：32知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个前提：应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．2．两种方法：两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想．二是直接套用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．「自测检评」1．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为25，则C的值为()A．9B．11或－9C．－11D．9或－11解析：选B两平行线间的距离为d＝|－1－－C|12＋－22＝25，解得C＝－9或11.2．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则实数a的取值范围是()A．[0,10]B.13，313C．(0,10)D．(－∞，0]∪[10，＋∞)解析：选Ad＝|4×4－3a－1|42＋－32＝|15－3a|5≤3，|3a－15|≤15，∴－15≤3a－15≤15,0≤a≤10.3．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是()A．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0B．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0C．7x＋4y＝0D．x－4y＋4＝0解析：选A设点P(x，y)，则根据题意得|5x－12y＋13|52＋－122＝|3x－4y＋5|32＋－42，整理得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.4．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是．解析：d＝|3－(－2)|＝5.答案：55．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝c＋32，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝0