2020年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点

第三章直线与方程3．3直线的交点坐标与距离公式3．3．1两条直线的交点坐标3．3．2两点间的距离登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．3．掌握两点间距离公式并会应用．学习目标‖自主导学‖预习课本P102～P105，思考并完成以下问题．知识点一|两条直线的交点坐标1．两条直线的交点已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点PP(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点P在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是P方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝a，y＝b(2)两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．2．过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示1___________的直线系，不包括直线l2.过点P‖小试身手‖1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A．(3，－5)B．(－3,5)C．(3,5)D．(－3，－5)答案：C2．直线x＋y＋2＝0与直线2x＋2y＋7＝0的位置关系是．答案：平行知识点二|两点间的距离公式1．两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝2_____________________.2．两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝3__________.(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝4________.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝5________.x2－x12＋y2－y12x2＋y2|x2－x1||y2－y1|[思考探究]………………|辨别正误|1．平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？[提示]无关．在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．2．式子x2＋y2的几何意义是什么？[提示]式子x2＋y2＝x－02＋y－02表示平面上的点(x，y)到原点的距离．剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一两直线的交点问题【例1】求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．[解]解法一：(点斜式法)解方程组2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，得x＝－1，y＝0，所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.解法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0①，又直线l的斜率为3，所以－λ＋2λ－1＝3，解得λ＝14，将λ＝14代入①，整理得3x－y＋3＝0.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.|方法总结|1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求实数a的值．解：解方程组4x＋y＝14，2x－3y＝14，得x＝4，y＝－2，所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－34.2．求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．解：把直线l1和直线l2的方程联立得x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，解得x＝0，y＝2，所以交点P的坐标是(0,2)．由题意知直线l3的斜率为34，且直线l与直线l3垂直，所以直线l的斜率为－43，所以直线l的方程为y－2＝－43(x－0)，即4x＋3y－6＝0.题型二两点间距离公式的应用考向1两点间距离公式的应用【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．[解]解法一：∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，|AC|＝1＋32＋7－12＝213，又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．解法二：∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．考向2坐标法的应用【例3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．[证明]如图所示，以A为坐标原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.又由中点坐标公式，得Dm2，n2，Ec＋m2，n2，∴|DE|＝c＋m2－m2＝c2，∴|DE|＝12|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.|方法总结|若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题.3．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵|AB|＝－4＋22＋－3＋12＝22，|AC|＝0＋22＋－5＋12＝25，|BC|＝0＋42＋－5＋32＝25，∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，∴△ABC是等腰三角形.题型三直线恒过定点问题【例4】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．[证明]证法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为P(－3,3)．将点P(－3,3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．证法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．由方程组2x＋y＋3＝0，x－y＋6＝0得x＝－3，y＝3.∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3).解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法(1)计算较烦琐，方法(2)变形较困难，方法(3)最简便因而也最常用.|方法总结|4．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)证明：直线l的方程可化为y－35＝ax－15，所以不论a取何值，直线l恒过定点A15，35，又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．(2)令x＝0，y＝3－a5，由题意，3－a5≤0，解得a≥3.所以a的取值范围为[3，＋∞)．题型四对称问题考向1点关于点对称【例5】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．[解]设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.考向2点关于线对称【例6】点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是()A．(－2,1)B．(－2,5)C．(2，－5)D．(4，－3)[解析]设对称点坐标为(a，b)，a－32＋b＋42－2＝0，b－4a＋3＝1，解得a＝－2，b＝5，即Q(－2,5)．[答案]B考向3线关于点对称【例7】与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0[解析]由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6)．在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.[答案]D|方法总结|1．点关于直线的对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组y－y0x－x0·－AB＝－1AB≠0，A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程.5．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2B．4C．5D.17解析：选D根据中点坐标公式得到x－22＝1且5－32＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝4－02＋1－02＝17.6．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为．解析：由题意知，设直线l的斜率为k，则k·kAB＝－1，且直线l过AB的中点，又kAB＝7－5－2－4＝－13，则k＝3，AB的中点为(1,6)，所以直线l的方程为y－6＝3(x－1)，即3x－y＋3＝0.答案：3x－y＋3＝07．求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x