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第三章直线与方程3．2直线的方程3．2．1直线的点斜式方程登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．学习目标‖自主导学‖预习课本P92～P94，思考并完成以下问题．知识点一|直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率k1______________斜率存在的直线y－y0＝k(x－x0)‖小试身手‖1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1答案：D2．经过点(－1,1)，且斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1)D．y－1＝22(x＋1)答案：C知识点二|直线的斜截式方程1．直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的2__________.(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的3__________.纵坐标b横坐标a2．直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距b4_________斜率存在的直线y＝kx＋b[思考探究]………………|辨别正误|1．直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？[提示]不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.2．直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？[提示]不一定．当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数．剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一直线的点斜式方程【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[解](1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－－2＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)．∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.|方法总结|1．直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程．解：直线y＝x＋1的斜率k＝1，∴倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k′＝tan135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求直线AB的点斜式方程．解：因为A(－1,2)，B(m,3)，当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，没有点斜式方程；当m≠－1时，直线AB的斜率k＝1m＋1，直线AB的点斜式方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．题型二直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[解](1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－33，由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝3.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数.|方法总结|3．倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为．解析：∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y＝－33x－3.答案：y＝－33x－34．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，直线l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.题型三直线方程的应用考向1判断平行或垂直【例3】(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？[解](1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝38.故当a＝38时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．考向2直线过定点问题【例4】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．[证明]证法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．证法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令x＋2＝0，x＋y－1＝0，解得x＝－2，y＝3.∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．1．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．2．证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.|方法总结|5．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝.解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.答案：－16．若直线l1：y＝－2ax－1a与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝.解析：由题意可知－2a＝3，－1a≠－1，解得a＝－23.答案：－237．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．解：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则－6≤0，3－2k≤0，得k≥32.所以，k的取值范围是kk≥32.知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个依据：建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1x－x1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2．一个注意：斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．「自测检评」1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2D．2，－3答案：D2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3D．y－2＝x＋3解析：选A∵直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y＋3＝x－2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是．解析：α＝60°，k＝tan60°＝3，由点斜式方程，得y＋4＝3(x＋2)．答案：y＋4＝3(x＋2)4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为．解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又在y轴上的截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.答案：y＝－3x＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．解：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y＋2＝－13(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.