2020年高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的

第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．1．2两条直线平行与垂直的判定登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．学习目标‖自主导学‖预习课本P86～P89，思考并完成以下问题．知识点一|两条直线平行与斜率的关系1．如图①，设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k11_____k2；反之，若k1＝k2，则l12____l2.＝∥2．如图②，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．[思考探究]………………|辨别正误|1．如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？[提示]在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等．2．若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？[提示]当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴．知识点二|两条直线垂直与斜率的关系1．如图①，如果两条直线3__________且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于4_____；反之，如果它们的斜率之积等于5____，那么它们互相垂直．即6___________⇒l1⊥l2，l1⊥l2⇒7____________.都有斜率－1－1k1k2＝－1k1k2＝－12．如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是8______．垂直[思考探究]………………|辨别正误|1．如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？[提示]不一定．它们的斜率也可能一个是0，另一个不存在．2．若k1·k2≠－1，则两条直线能否垂直？[提示]两直线一定不垂直．剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一两条直线平行的判定【例1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．[解](1)kl1＝1－－22－－1＝1，kl2＝－1－4－1－3＝54.∵kl1≠kl2，∴l1与l2不平行．(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.k1＝k2⇒l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形.|方法总结|1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则点D的坐标为．解析：根据AB∥DC，AD∥BC，利用平行直线的斜率相等求解．设点D(x，y)，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，即86－－2＝y－6x－8，yx－－2＝8－66－8，解得x＝0，y＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为．解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝－1－32－0＝－2.答案：－2题型二两条直线垂直的判定【例2】判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解](1)kAB＝3－－41－－3＝74，kMN＝1－－33－－4＝47，kABkMN＝1，∴l1与l2不垂直．(2)设l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；kMN＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.|方法总结|3．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为．解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.答案：－14．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1.∵kBC＝2－10－－1＝1，∴k＝－1.∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.题型三根据两直线平行或垂直关系求参数【例3】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l2的斜率为k2，则k2＝2－a＋21－－2＝－a3.(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3.∵k1＝2－aa－4，∴2－aa－4＝－a3，解得a＝1或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2.①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－12，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝2－aa－4.由k1k2＝－1可得2－aa－4·－a3＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况.|方法总结|5．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．解：∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：①AB∥CD，AB⊥AD，由图可知，A(2，－1)．②AD∥BC，AD⊥AB，kAD＝kBC，kAD·kAB＝－1⇒n－2m－2＝3－1，n－2m－2·n＋1m－5＝－1，∴m＝165，n＝－85.综上可知，m＝2，n＝－1或m＝165，n＝－85.6．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．解：设D(x，y)，则kAB＝23－1＝1，kBC＝4－20－3＝－23，kCD＝y－4x，kDA＝yx－1.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以1×y－4x＝－1，yx－1＝－23.解得x＝10，y＝－6.即D(10，－6)．知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．两种方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行斜率均存在积为－1垂直2.一种思想：在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．「自测检评」1．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则实数m的值为()A．2B．1C．0D．－1解析：选B直线AB与x轴垂直，则点A，B横坐标相同，即m＝1.2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为()A．－7B．－1C．－1或－7D.133解析：选Al1的斜率为－3＋m4，纵截距为5－3m4，l2的斜率为－25＋m，纵截距为85＋m.又∵l1∥l2，由－3＋m4＝－25＋m得，m2＋8m＋7＝0，得m＝－1或－7.m＝－1时，5－3m4＝85＋m＝2，l1与l2重合，故不符合题意；m＝－7时，5－3m4＝132≠85＋m＝－4，符合题意．3．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有()A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°解析：选C两直线垂直则它们的倾斜角的绝对值相差90°.4．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确解析：选A过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．5．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝，y＝.解析：∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－12，∴7－5x－3＝y－5－1－3＝－12，∴x＝－1，y＝7.答案：－17