2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）章末总结归纳课件 新人教B版必修1

第三章基本初等函数(Ⅰ)章末总结归纳指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a、α变化时，函数的图象与性质也随之改变，因此，在a、α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．1指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质专题在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1＋x22＞fx1＋fx22恒成立的函数的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】fx1＋x22＞fx1＋fx22恒成立的图象是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x满足，故选B．【答案】B已知函数y＝ax2－3x＋3，当x∈[1,3]时有最小值18，求a的值．【解】令t＝x2－3x＋3＝x－322＋34，当x∈[1,3]时，t∈34，3，①若a＞1，则ymin＝a34＝18，解得a＝116，与a＞1矛盾．②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝18，解得a＝12，满足题意．综合①②知a＝12.2数的大小比较问题专题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．比较下列各组数的大小：(1)0.65.1,5.10.6，log0.65.1；(2)log712，log812；(3)a＝0.212，b＝0.312，c＝313，d＝513.【解】(1)因为0＜0.65.1＜1,5.10.6＞1，log0.65.1＜0，所以5.10.6＞0.65.1＞log0.65.1.(2)解法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，由底数变化对图象位置的影响知：log712＞log812.解法二：log712log812＝lg12lg7lg12lg8＝lg8lg7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.(3)因为0＜12＜1，所以y＝x12在[0，＋∞)上为增函数，所以0.212＜0.312，即a＜b.同理313＜513，即c＜d.又因为0.312＜1,313＞1，所以b＜c，故有a＜b＜c＜d.3函数的图象及变换专题1.平移变换(1)水平方向的平移变换：y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移a个单位(a0)或向右平移|a|个单位(a0)而得到．(2)竖直方向的平移变换：y＝f(x)＋b的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位(b0)或向下平移|b|个单位(b0)而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)y＝f－1(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(6)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都有f(a＋x)＝－f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称．3．翻折变换(1)y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于x轴上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折得到，如图，为了看起来更清楚一些，将y＝f(x)及y＝f(x)的图象分绘在两个坐标系中对照．(2)y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可，如图同样分绘在两个坐标系中对比．作出下列函数的图象．(1)y＝x3|x|；(2)y＝x＋2x－1；(3)y＝|log2x－1|.【解】(1)首先要化简解析式，y＝x2，x0，－x2，x0.利用二次函数的图象作出其图象，如图(1)．(2)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图(2)．(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(3)．【知识点拨】对于比较复杂的函数，可考虑利用已知函数图象的平移、对称变换．4函数模型的应用专题要掌握应用题的类型大体上分为四类，即①挑选解析式型，题中给出两个或者两个以上函数模型，让你挑选；②使用解析式型，题中给出解析式，让你先确定相关的参数再使用这个模型；③建立解析式型，题中给出已知，让你据以往的知识列式，其中的本质是找等量关系；④创造解析式型，也就是建模型，按理说这类题只有问题的实际背景，别的什么都不提供，还让你解决这个问题，但是鉴于高中生的知识范围还不够广阔，教材对这类问题的处理是据散点图设解析式，其中的道理是你看散点图接近什么曲线就把解析式设成相应的形式．如图，图中所示的是函数f(x)＝ax2与g(x)＝b·cx的图象．(1)设f(x)＝x2，g(x)＝2x，指出点A、B的坐标；(2)设点A的坐标是(1,1)，点B的纵坐标是4，求f(x)与g(x)；(3)某厂试生产某种产品，试生产期间的投资与试生产期限之间的关系可用(2)中得出的函数来模拟，怎样选择模拟函数？【解】(1)在f(x)＝x2中，f(2)＝4，f(4)＝16；在g(x)＝2x中，g(2)＝4，g(4)＝16.点A、B的坐标分别是(2,4)、(4,16)．(2)把点A的坐标(1,1)代入f(x)＝ax2，得a＝1，这时f(x)＝x2；再把点B的纵坐标4代入f(x)＝x2，得x＝2(负值舍去)，这时点B的坐标为(2,4)．把点A(1,1)、B(2,4)的坐标代入g(x)＝b·cx，得bc＝1，bc2＝4，解得b＝14，c＝4，所以g(x)＝14·4x＝22x－2.综上，得f(x)＝x2，g(x)＝22x－2.(3)该厂在试生产期间，投资应该选择较低的，投资y与试生产期限x的关系有两种，即(2)中得出的两个函数，它们是f(x)＝x2，g(x)＝22x－2.由(2)可知，点A、B的横坐标x分别为1和2.模拟函数选择：期限小于1，选择f(x)＝x2；期限大于等于1小于2，选择g(x)＝22x－1；期限大于等于2，选择f(x)＝x2.1．下列函数中，在R上单调递增的是()A．y＝|x|B．y＝log2xC．y＝x13D．y＝0.5x答案：C2．函数y＝11－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A．－13，＋∞B．－13，1C．－13，13D．－∞，－13解析：由题得1－x＞0，3x＋1＞0，∴－13＜x＜1，故选B．答案：B3．已知a＝logπ3，b＝logπ4，c＝log34，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．acbD．cab解析：a＝logπ3∈(0,1)，b＝logπ41，c＝log341，logπ4log34，∴abc，故选A．答案：A4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f13＝0，则不等式f(log18x)＞0的解集为()A．12，2B．(2，＋∞)C．0，12∪(2，＋∞)D．12，1∪(2，＋∞)答案：C解析：由题可知，f(x)在(－∞，0]上为减函数，f－13＝0，故使f(x)＞0的x的值为x＜－13或x＞13，∴log18x＞13或log18x＜－13，∴log2x＜－1或log2x＞1，∴0＜x＜12或x＞2，故选C．5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝ax－1ax，其中a0且a≠1.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式－1f(x－1)4.解：(1)所求的解析式为f(x)＝ax－1，x≥0，－a－x＋1，x0.(2)不等式等价于x－10，－1－a－x＋1＋14或x－1≥0，－1ax－1－14，即x－10，－3a－x＋12或x－1≥0，0ax－15.当a1时，有x1，x1－loga2或x≥1，x1＋loga5，此时loga20，loga50，可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．同理可得，当0a1时，不等式的解集为R.综上所述，当a1时，不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；当0a1时，不等式的解集为R.