2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.4 函数的应用（Ⅱ）课件 新人教B版必修1

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.4函数的应用(Ⅱ)自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能够运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)性质，解决某些简单的实际问题．2．能够根据实际问题构建适当的函数模型，了解和体会函数模型的广泛应用．3．培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.1．指数函数模型的应用在实际应用中有关增长率(或减少率)、存款利率、或由物理概念建立起来的函数关系都与指数函数有关，常用到指数函数的概念和性质求解．指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类：(1)平均增长率问题：若原来产值的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y＝__________；(2)储蓄中的复利问题：若本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y＝__________.N(1＋P)xa(1＋r)x2．对数函数模型的应用(1)由于同底的指数函数与对数函数互为反函数，在指数式与对数式的计算中可以相互转化，因而指数函数、对数函数联系紧密，不可分割．(2)对数函数的一般形式是y＝logax(a0，且a≠1，x0)．解答对数函数模型的应用题关键在于：透彻地理解题意，灵活地运用对数以及对数有关知识解决问题．3．幂函数模型的应用幂函数y＝xα，当α＝1,2，－1等值时，就是我们常说的正比例、二次、反比例等常见函数．在实际应用中，它们或由它们构成的复合函数经常遇到．解这类题目的关键是通过转化、换元等方法将问题转化为单一的幂函数求解．4．函数模型的检验(1)用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，这就需要我们对函数模型不断修正，使它更接近实际状况．(2)函数模型检验的步骤第一步：收集数据．第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看看是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四步；若符合实际，则进入下一步．第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示为(如下图所示)：1．某校开展研究性学习，一组同学获得了下面的一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的是()A．y＝2x－2B．y＝12xC．y＝log2xD．y＝12(x2－1)解析：根据题中数据所知D基本符合要求，故选D．答案：D2．下列函数中，随着x的增长，y值增长速度最快的是()A．y＝50B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11000ex解析：指数函数y＝ax在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长的速度越快，故选D．答案：D典例精析规律总结课堂互动探究1指数函数模型类型某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年，(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)．【分析】本题是增长率问题，可用逻辑(归纳)分析法写函数关系式，再求解几个实际问题．【解】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3；x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．【知识点拨】本例是一个有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y＝N(1＋p)x，解决平均增长率的问题，常用这个函数式．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．现有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则y随着x变化的函数式为________．解析：由题可得存期为1时，y＝a(1＋r)，存期为2时，y＝a(1＋r)2，所以存期为x时，y＝a(1＋r)x.答案：y＝a(1＋r)x2对数函数模型类型日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级．试计算一下日本1923年地震强度是8.3级地震强度的几倍？是7.1级地震强度的几倍？(地震级数是地震强度的常用对数，取lg2＝0.3)【分析】已知对数值，要探讨真数之间的关系，可灵活运用对数式之间的关系，利用对数的运算法则及方程的思想求解．【解】设8.9级，8.3级，7.1级地震强度分别为x，y，z，由题意可得lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz＝7.1，则lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，从而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)，所以x＝4y，lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg26＝lg64，从而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)，所以x＝64z.故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．【知识点拨】对数运算在社会经济实践中、科学技术的研究中有着广泛应用，熟练掌握对数的定义、性质、运算法则等是处理这类问题的关键．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)y＝10%x，x≤15，15×10%＋2log5x－15＋1，x15，即y＝0.1x，x≤15，1.5＋2log5x－14，x15.(2)1.5＋2log5(x－14)＝5.5，∴x＝39，所以他的销售利润是39万元.3幂函数模型类型某小商品2016年的价格为15元/件，销售量为a件，现经销商计划在2017年该商品的价格降至10元/件到14元/件之间，经调查，顾客的期望价格为7元/件，经市场调查，该商品的价格下降后增加的销售量与定价和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价为5元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与定价x的函数关系式；(2)设k＝3a，当定价为多少时，经销商2017年的收益恰是2016年收益的1.2倍？【解】(1)由题可得：年收益y＝a＋kx－7(x－5)，10≤x≤14.(2)当k＝3a时，y＝a＋3ax－7(x－5)＝1.2×10a，即1＋3x－7(x－5)＝12，∴x2－21x＋104＝0，x＝8或x＝13.∵x∈[10,14]，∴x＝13，故当定价为13元时，经销商2017年的收益恰是2016年收益的1.2倍．现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系依次是：其中P与x的平方根成正比，且当x为4(万元)时P为1(万元)，又Q与x成正比，当x为4(万元)时Q也是1(万元)；某人甲有3万元资金投资．(1)分别求出P，Q与x的函数关系式；(2)请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？解：(1)设P，Q与x的比例系数分别是k1，k2，P＝k1x，Q＝k2x且都过(4,1)，所以P＝x2(x≥0)，Q＝x4(x≥0)．(2)设甲投资到A，B两项目的资金分别为x(万元)，(3－x)(万元)(0≤x≤3)，获得利润为y万元．由题意知y＝x2＋3－x4＝－14(x－1)2＋1，所以当x＝1，即x＝1时，ymax＝1，所以甲在A，B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一对数函数模型1．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：由题意，100＝alog22，∴a＝100，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.故选A．答案：A知识点二散点图2．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A．y＝2tB．y＝2t2C．y＝t3D．y＝log2t解析：从题设中的散点图知该函数的图象可能是y＝log2t.答案：D知识点三函数的综合应用3．某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷，则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝200xB．y＝100x2＋100xC．y＝100×2xD．y＝0.2x＋log2x解析：由题可知，f(1)＝198.5，f(2)＝399.6，f(3)＝793.7，由增长速度可知y＝100×2x较为近似，故选C．答案：C4．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A．600元B．50%C．32－1D．32＋1解析：设平均每年的增长率为x，则1200(1＋x)6＝4800，∴(1＋x)6＝4,1＋x＝32，∴x＝32－1，故选C．答案：C5．以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.585022.32192.58502.80743…其中，关于x有可能成对数型函数变化的函数是________．解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势，可判断y3增长的比较平缓，符合对数型函数的增长情况．答案：y3