第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1.了解反函数的概念,知道同底的指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图象间的对称关系.2.利用计算工具,比较指数函数、对数函数增长的差异.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.1.反函数当一个函数是__________时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,称这两个函数互为反函数;互为反函数的图象关于直线_____对称.y=x一一映射2.指数函数与对数函数增减情况a1时,指数函数y=ax与对数函数y=logax都_____________________________.0a1时,指数函数y=ax与对数函数y=logax都__________________________,但它们在不同的区间上增长或减小的速度不同.随x的增长函数值却在减小随x的增长函数值也在增长a10a1(-∞,0]增长缓慢__________y=ax[0,+∞)__________减小缓慢(0,1]增长迅速__________y=logax[1,+∞)__________减小缓慢减小迅速增长迅速减小迅速增长缓慢1.函数y=log12x(x0)的反函数是()A.y=x12,x0B.y=12x,x∈RC.y=x2,x∈RD.y=2x,x∈R答案:B2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a≠1)的反函数,其图象经过点(4,2),则a=________.解析:y=f(x)经过点(4,2),则y=ax经过点(2,4),∴a2=4,∴a=2.答案:23.若函数f(x)=2x+1的反函数为f-1(x),则f-1(-1)=________.解析:由y=2x+1,得x=y-12,∴f-1(x)=12x-12,∴f-1(-1)=-12-12=-1.答案:-1典例精析规律总结课堂互动探究1函数的图象类型已知a0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是下图中的()【解析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A、C.其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.解法二:若0a1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过(-1,0),而所有选项均不符合这些条件.若a1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件.解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.【答案】B已知函数y=12x的图象与函数y=logax(a>0,a≠1)的图象交于点P(x0,y0),如果x0≥2,那么a的取值范围是()A.[2,+∞)B.[4,+∞)C.[8,+∞)D.[16,+∞)解析:如图所示,y=12x经过点2,14,若y=12x与y=logax的图象交于点P(x0,y0),x0≥2,则0<loga2≤14,∴a14≥2,∴a≥16,故选D.答案:D2反函数类型(1)已知函数f(x)=logax(a0且a≠1),f(x)的反函数为f-1(x),若f-1(2)=9,则a=()A.2B.3C.12D.13(2)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于()A.3B.4C.5D.6【解析】(1)由f-1(2)=9,知f(9)=2,则loga9=2,即a2=9,且a0得a=3,故选B.(2)∵f(x)过(2,1),∴1=loga(2+b),即2+b=a,又∵f-1(x)过(2,8),∴f(x)过(8,2),∴2=loga(8+b),即a2=8+b,∴由2+b=a,a2=8+b,∴a=3,b=1或a=-2,b=-4.∵a>0,∴a=3,b=1,∴a+b=4,故选B.【答案】(1)B(2)B【知识点拨】反函数定义的理解(1)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域.例如:x=y2(y∈Z)不是函数y=2x的反函数,因为前者的值域显然不是后者的定义域.(2)对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数.只有当一个函数的映射是一一映射时,这个函数才存在反函数.如果有反函数y=f-1(x),那么原来函数y=f(x)也是反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数.(3)反函数也是函数,因为它们符合函数的定义.(4)函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x),它们的图象关于直线y=x对称.已知f(x)=1-3x1+3x,求f-145的值.解:令1-3x1+3x=45,得3x=19,即x=-2,所以f-145=-2.3指数函数与对数函数的综合应用类型已知函数f(x)=ax-a+1,(a0且a≠1)恒过定点(3,2).(1)求实数a;(2)在(1)的条件下,将函数f(x)的图象向下平移1个单位,再向左平移a个单位后得到函数g(x),设函数g(x)的反函数为h(x),求h(x)的解析式;(3)对于定义在[1,9]的函数y=h(x),若在其定义域内,不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2恒成立,求m的取值范围.【解】(1)由已知a3-a+1=2,∴a=3.(2)∵f(x)=3x-3+1,∴g(x)=3x,∴h(x)=log3x(x0).(3)要使不等式有意义,则有1≤x≤9且1≤x2≤9,∴1≤x≤3,据题有(log3x+2)2≤log3x2+m+2在[1,3]上恒成立.∴设t=log3x(1≤x≤3),∴0≤t≤1.∴(t+2)2≤2t+m+2在t∈[0,1]时恒成立,即m≥t2+2t+2在t∈[0,1]时恒成立,设y=t2+2t+2=(t+1)2+1,t∈[0,1],∴t=1时有ymax=5,∴m≥5.设a,b,c分别是方程2x=log12x,12x=log12x,12x=log2x的实数根,则有()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b解析:在同一坐标系中作出y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图象.如图所示,可知a<b<c,故选A.答案:A即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一函数的图象1.函数y=3|log3x|的图象是()解析:y=3|log3x|=1x,0<x≤1,x,x>1,∴故函数y=3|log3x|的图象为A.答案:A知识点二反函数的性质2.若函数y=f(x)与函数y=lnx+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)=()A.e2x-2B.e2xC.e2x+1D.e2x+2解析:由y=lnx+1得,y-1=lnx,∴x=ey-1,∴x=e2y-2,∴f(x)=e2x-2,故选A.答案:A3.函数g(x)是函数f(x)=loga(x-2)(a0,且a≠1)的反函数,则函数g(x)的图象过定点________.解析:f(x)=loga(x-2)经过定点(3,0),根据反函数性质关于y=x对称,所以g(x)过定点(0,3).答案:(0,3)知识点三函数的性质4.已知a=0.23.5,b=0.24.1,c=e1.1,d=log0.23,则这四个数的大小关系是()A.a<b<c<dB.a>b>c>dC.d<b<a<cD.b>a>c>d解析:y=0.2x是减函数,∴1>0.23.5>0.24.1>0,c=e1.1>1,d=log0.23<0,∴d<b<a<c,故选C.答案:C知识点四求反函数5.求下列函数的反函数.(1)y=πx;(2)y=-log6x;(3)y=1ex.解:(1)∵y=πx为指数函数,底数为π,∴y=πx的反函数为对数函数y=logπx.(2)∵y=-log6x=log16x为对数函数,∴y=-log6x的反函数为指数函数y=16x.(3)∵y=1ex为指数函数,∴y=1ex的反函数为y=log1ex.