2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课件 新人教

第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用.圆的一般方程的概念二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当_________________时，方程表示以－D2，－E2为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆，这个方程叫做圆的一般方程；当_________________时，方程表示一个点－D2，－E2；当_________________时，方程不表示任何图形．D2＋E2－4F＞0D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＜01．圆x2＋y2－4x＋4y＝0的圆心为()A．(2,2)B．(2，－2)C．(－2,2)D．(－2，－2)解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，故选B．答案：B2．已知圆x2＋y2－mx＋y＝0始终被直线y＝x＋1平分，则m的值为()A．0B．1C．－3D．3解析：圆心m2，－12在直线y＝x＋1上，∴－12＝m2＋1，∴m＝－3.答案：C3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．解析：(x＋2)2＋(y－1)2＝5－5m，则5－5m＞0，∴m＜1.答案：m∈(－∞，1)典例精析规律总结课堂互动探究1圆的一般方程类型(1)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2(2)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋54a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜1B．a＞1C．－2＜a＜23D．－2＜a＜0【解析】(1)圆的圆心为(1,4)，则|a＋4－1|a2＋1＝1，∴a＝－43，故选A．(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋54a2＋a－1＝0可化为x＋a22＋(y＋a)2＝1－a，∴1－a＞0，∴a＜1.故选A．【答案】(1)A(2)A已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是_________．解析：因为方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程可化为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即(2x＋1)2＋(2y＋2)2＋5＝0，不表示圆的方程．答案：(－2，－4)52求圆的一般方程类型(1)圆心在点(2,3)，且经过点(2,6)的圆是()A．x2＋y2－4x－6y＋4＝0B．x2＋y2＋4x＋6y－72＝0C．x2＋y2－4x－6y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋6y－68＝0(2)已知圆C经过点A(0，3)和B(3,2)，且圆心C在直线y＝x上，则圆C的方程为______________________．【解析】(1)由题可得r＝2－22＋3－62＝3，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝9，∴x2＋y2－4x－6y＋4＝0，故选A．(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为为－D2，－E2，则－E2＝－D2，9＋3E＋F＝0，9＋4＋3D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－2，F＝－3，∴圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.【答案】(1)A(2)x2＋y2－2x－2y－3＝0【知识点拨】圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)中D，E，F确定了，那么圆的方程也就确定了，因此只要有三个独立条件就一定能确定一个圆的方程，这是利用待定系数法求圆的方程．若圆经过点(2,0)，(0,4)，(0,2)．求：(1)圆的方程；(2)圆的圆心和半径．解：(1)设圆的一般式为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将已知点代入方程得4＋2D＋F＝0，16＋4E＋F＝0，4＋2E＋F＝0，解得D＝－6，E＝－6，F＝8，所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0.(2)－D2＝3，－E2＝3，所以圆心为(3,3)，r＝D2＋E2－4F2＝10.3轨迹问题类型圆x2＋y2＝4，过点A(4,0)作圆的割切ABC，则弦BC的中点的轨迹方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝4(0≤x＜1)C．(x－2)2＋y2＝4D．(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)【解析】解法一：直接法．设BC的中点为M(x，y)，由圆的性质知OM⊥BC，∴kOM·kBC＝－1，∴yx·yx－4＝－1，∴x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，∴BC的中点的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4且在圆x2＋y2＝4的内部部分，故选D．解法二：定义法．设BC的中点为M(x，y)，由圆的性质知OM⊥BC，∴M在以OA为直径的圆上，∴OA的中点为(2,0)，∴M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4，且在圆x2＋y2＝4的内部部分．【答案】D【知识点拨】求轨迹方程的步骤(1)设点：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；(3)代换：用坐标(x，y)表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如图，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q.求线段PQ的中点M的轨迹方程．解：设M(x，y)，P(x0，y0)．则x0＝x，y0＝2y.又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4.所以x2＋4y2＝4即为所求点的轨迹方程．已知一曲线C是与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离比为12的点的轨迹．求曲线C的方程，并指出曲线类型．解：设M(x，y)是曲线上任意的一点，点M在曲线上的条件是|MO||MA|＝12.由两点间距离公式，得x2＋y2＝12x－32＋y2，即x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.曲线C是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一圆的一般方程1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3解析：圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，故3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1，故选B．答案：B2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4C．(4，－6)；16D．(2，－3)；4解析：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，圆心为(－2,3)，r＝4，故选B．答案：B知识点二圆的一般方程的应用3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是()A．3－2B．3＋2C．3－22D．3－22解析：圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，AB的直线方程为x－2＋y2＝1，即x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝|1－0＋2|2＝32＝3221，|AB|＝22，∴S△ABC的最小值为12|AB|(d－1)＝12×22×322－1，即3－2，故选A．答案：A知识点三轨迹问题4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．解析：设动点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知x＋22＋y2＝2x－12＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，该圆的面积为4π.答案：4π知识点四求圆的方程5．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组D－E＋F＝－2，D＋4E＋F＝－17，4D－2E＋F＝－20.解得D＝－7，E＝－3，F＝2.∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.