2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.2 直线方程的几种形式 第

第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式第二课时直线方程的一般式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义．2．掌握一般式与其他形式的互化．3．了解二元一次方程与直线的对应关系.1．一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是_______，在y轴上的截距是_______；当B＝0时，这条直线垂直于___轴，没有斜率．Ax＋By＋C＝0－AB－CBx2．直线方程的一般式向其他形式的转化形式方程转化条件一般式Ax＋By＋C＝0斜截式y＝－ABx－CBB≠0点斜式y－(－CB)＝－AB(x－0)B≠0截距式x－CA＋y－CB＝1A，B，C均不为零3.直线的五种方程及比较名称方程常数的几何意义适用条件一般情况y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴点斜式斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴名称方程常数的几何意义适用条件一般情况y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴两点式截距式xa＋yb＝1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点名称方程常数的几何意义适用条件一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0A，B，C为系数任何情况x＝a(y轴：x＝0)垂直于x轴且过点(a,0)斜率不存在特殊直线y＝b(x轴：y＝0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k＝01．直线x－y＋3＝0的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．135°答案：B2．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是()A．x－y＋3＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－3＝0解析：直线方程为y－13－1＝x＋2－4＋2，即x＋y＋1＝0，故选B．答案：B3．经过点(2,3)，(1,6)的直线的方程是________．解析：直线的方程为y－36－3＝x－21－2，得3x＋y－9＝0.答案：3x＋y－9＝0典例精析规律总结课堂互动探究1求直线的方程类型根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(4)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点．【解】(1)y－3＝3(x－5)，则3x－y－53＋3＝0.(2)x＝－3，则x＋3＝0.(3)y＝3，则y－3＝0.(4)y＋15＋1＝x－2－1－2，∴2x＋y－3＝0.【知识点拨】利用直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．解：(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)．化成一般式为x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即一般式为y－2＝0.(3)由截距式得x32＋y－3＝1.即一般式为2x－y－3＝0.(4)由两点式得y－－2－4－－2＝x－35－3，即一般式为x＋y－1＝0.2直线方程一般式与其他形式的转化类型设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解】(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以a＝2，方程为3x＋y＝0；由题可知a＋1≠0，即a≠－1.当a≠2时，由a－2a＋1＝a－2，解得a＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以－a＋1＞0，a－2≤0或－a＋1＝0，a－2≤0，解得a≤－1.【知识点拨】把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：3x－y＋a＝0可得y＝3x＋a，即直线的斜率为3，∴倾斜角为60°，故选B．答案：B直线mx＋n2y－1＝0在y轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x－y－33＝0的倾斜角的2倍，则()A．m＝3，n＝2B．m＝－3，n＝－2C．m＝3，n＝－2D．m＝－3，n＝2解析：令x＝0，n2y－1＝0，∴y＝2n，∴2n＝－1，∴n＝－2，直线3x－y－33＝0的倾斜角为60°，所以直线mx＋n2y－1＝0的倾斜角为120°，斜率为－3，∴－mn2＝－3，∴m＝－3，故选B．答案：B3直线方程的综合应用类型直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点()A．(1，－3)B．(4,3)C．(3,1)D．(2,3)【解析】解法一：直线方程可化为m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，则由2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0得x＝3，y＝1，∴直线过定点(3,1)，故选C．解法二：令m＝0，则x＋y－4＝0，①令m＝－1，则－x＋3＝0.②由①②可得x＝3，y＝1，∴直线过定点(3,1)，故选C．【答案】C【知识点拨】本题考查直线过定点问题，体现了函数与方程的思想，解法一使含参数k的系数为0即可，解法二转化为求两直线的交点．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．解：(1)证明：证法一：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，必有5x－1＝0，5y－3＝0，即x＝15，y＝35.即l过定点A15，35.以下同证法一．(2)直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－a－35≤0，∴a≥3.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一一般式方程1．如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，∵AC＜0，BC＜0，∴－CB＞0，－AB＜0，∴直线不过第三象限，故选C．答案：C2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0解析：3x＋4y＋7＝0可化为y＝－34x－74，k＝－34；4x＋3y＋7＝0可化为y＝－43x－73，k＝－43，b＝－73＜0，不经过第一象限，故选B．答案：B3．如图所示，直线l1：ax－y＋b＝0与l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)的图象只可能是()解析：l1：y＝ax＋b，表示斜率为a，在y轴上截距为b的直线；l2：y＝bx＋a，表示斜率为b，在y轴上截距为a的直线．A图中由l1可知a0，b0，而由l2可得b0，相矛盾；同理排除B、C．答案：D知识点二一般式方程的综合应用4．若m取任何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该点的坐标为________．解析：mx＋y－1＋2m＝0可化为y－1＝－m(x＋2)，∴直线恒过定点(－2,1)．答案：(－2,1)5．直线ax－6y－12a＝0(a≠0)在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求a的值及直线的斜率．解：当x＝0时，y＝－2a，当y＝0时，x＝12，∴－2a×3＝12，∴a＝－2，斜率k＝a6＝－13.∴a为－2，直线的斜率为－13.