2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.2 直线方程的几种形式 第

第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式第一课时直线的点斜式方程和两点式方程自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解点斜式方程的推导过程．2．会求点斜式、斜截式与两点式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系.1．直线的点斜式方程已知直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则方程_____________叫做直线的点斜式方程．当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，过点P0(x0，y0)的直线方程是x＝x0；当直线l与y轴垂直时，斜率为0，过点P0(x0，y0)的直线方程是y＝y0.y－y0＝k(x－x0)2．直线的斜截式方程已知直线l过点P0(0，b)，斜率为k，则方程____________叫做直线的斜截式方程．其中k为斜率，b叫做直线在y轴上的截距，简称为直线的截距．y＝kx＋b点拨：(1)一般地，直线l与y轴(或x轴)交点的纵坐标(或横坐标)叫做直线l在y轴(或x轴)上的截距，简称为纵截距(或横截距)．(2)截距可取一切实数，即可为正数、零、负数；在此要区分开截距与距离，距离必须大于或等于零．(3)求截距的方法：在直线l的方程中①令x＝0，解出y的值，即得直线l的纵截距；②令y＝0，解出x的值，即得直线l的横截距．3．直线的两点式方程已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，则方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)叫做直线的两点式方程．两点式方程变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)时，此方程不再受x1≠x2，且y1≠y2的限制，可表示过(x1，y1)，(x2，y2)的所有直线．4．直线的截距式方程已知直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0，则方程xa＋yb＝1叫做直线的截距式方程．1．经过点(－3,2)，斜率为3的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)答案：C2．若经过原点的直线l与直线y＝33x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是()A．0°B．60°C．0°或60°D．60°或90°解析：直线y＝33x＋1的斜率为33，∴tanα＝33，α＝30°，倾斜角为30°，∴直线l的倾斜角为60°或0°.故选C．答案：C3．经过点(1,1)，(2,4)的直线方程为________．解析：y－14－1＝x－12－1，即y＝3x－2，即3x－y－2＝0.答案：3x－y－2＝0典例精析规律总结课堂互动探究1直线方程的点斜式、斜截式类型求斜率是直线y＝－3x＋1的斜率的－13倍，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.【分析】按照点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或斜截式方程y＝kx＋b解题．【解】∵直线方程为y＝－3x＋1的斜率k＝－3，根据题意知：所求直线的斜率k′＝－3×－13＝33.(1)∵直线过点(3，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝33(x－3)，即3x－3y－6＝0.(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴所求直线方程为y＝33x－5，即x－3y－53＝0.【知识点拨】已知直线上一点的坐标以及直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，但要注意直线方程点斜式应在直线斜率存在的条件下使用．将直线y＝x＋3－1绕点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为________．解析：直线y＝x＋3－1的斜率为1，所以其倾斜角为45°，将直线绕点(1，3)逆时针方向旋转15°，所得直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所得直线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.答案：3x－y＝02直线的两点式、截距式方程类型已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D3，32.(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．【分析】解答本题首先利用两点式求出直线AD的方程，然后利用所给条件求出直线BC在x轴、y轴上的截距，表示出直线BC的方程．【解】(1)解法一：∵线段BC的中点坐标为D3，32，△ABC的顶点坐标A(1，－1)，由两点式得直线AD的方程y＋132＋1＝x－13－1.即BC边上的中线方程为5x－4y－9＝0.解法二：本题也可由点斜式入手，由点斜式求出．∵kAD＝32＋13－1＝54.∴AD的方程为y＋1＝54(x－1)．即5x－4y－9＝0.(2)设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，由题意得a＋b＝9.①∵直线BC的截距式方程为xa＋yb＝1，且点D3，32在直线BC上，∴3a＋32b＝1，∴6b＋3a＝2ab.②由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝92或a＝6.因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为a＝92，b＝92，或a＝6，b＝3.∴直线BC的方程为2x9＋2y9＝1或x6＋y3＝1，即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.【知识点拨】已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程，若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程，若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程．经过点A(1,1)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：若在两坐标轴上的截距为0，则该直线为y＝kx，过(1,1)点，∴k＝1，直线方程为y＝x.若截距相等且不为零，设直线为x＋y＝a，过(1,1)点，∴1＋1＝a，而a＝2，直线方程为x＋y＝2.若截距互为相反数且不为零，设直线为x－y＝b，过(1,1)点，∴1－1＝b，∴b＝0(舍去)．∴符合条件的直线有2条．答案：C3直线方程的综合应用类型求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线l的方程．【分析】已知直线的斜率为34，可选直线的斜截式方程y＝34x＋b，然后根据条件“直线与坐标轴所围成的三角形的周长是12”确定b的值．【解】由已知，直线的斜率为34，可设直线l的方程为y＝34x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b.由题意得|b|＋－43b＋b2＋－43b2＝12.所以|b|＋43|b|＋53|b|＝12.所以b＝±3.所以所求直线方程为y＝34x±3，即3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.【知识点拨】本题是利用已知条件确定直线方程，体现了数学上的方程思想．此类题目的解题方法通常是待定系数法，即设出所求直线方程，利用条件确定常数，进而求出方程，至于设何种形式，利用何种形式要因题而异．已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1，求直线的方程．解：解法一：由题可知，直线的斜率存在，则设直线方程为y－2＝k(x＋2)，令x＝0，y＝2k＋2，令y＝0，x＝－2k－2，则12|2k＋2|－2k－2＝1，解得k＝－12或k＝－2，∴直线方程为y－2＝－12(x＋2)或y－2＝－2(x＋2)，即y＝－12x＋1或y＝－2x－2.解法二：设直线方程为xa＋yb＝1，则－2a＋2b＝1，12|ab|＝1，解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2.∴直线方程：x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线方程的斜截式1．直线y＝3x的倾斜角是()A．π6B．5π6C．π3D．2π3解析：由直线y＝3x可知斜率为3，故倾斜角为π3.答案：C2．在同一直角坐标系下，表示直线y＝ax和y＝x＋a正确的是()答案：C知识点二直线方程的综合应用3．过点A(2,3)和点B(4，－1)的直线l与x轴，y轴围成的三角形的面积为()A．4B．494C．－494D．－4解析：直线AB的方程为y＋1＝3＋12－4(x－4)，即y＝－2x＋7，当x＝0时，y＝7，得C(0,7)；当y＝0时，x＝72，得D72，0，∴S△OCD＝12×7×72＝494，故选B．答案：B4．已知□ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，则直线BD的方程为________．解析：∵平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的中点，∴M2，－12，直线BM的方程为x＝2，即直线BD的方程为x－2＝0.答案：x－2＝0知识点三直线方程的两点式5．已知△ABC的三个顶点A(1，－1)，B(2,2)，C(4,1)，则BC边上的中线所在的直线方程为________．解析：BC的中点为3，32，∴BC边上的中线所在的直线方程为y＋132＋1＝x－13－1，∴y＝54x－94.答案：y＝54x－94