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第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．会计算经过已知两点的直线的斜率．3．能够利用数形结合、分类讨论的思想求直线斜率及倾斜角.1．直线的方程与方程的直线的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做________________；这条直线叫做________________．直线的方程与方程的直线的概念实质揭示的是二元一次方程的解与相应直线上的点的坐标之间的一一对应关系．这条直线的方程这个方程的直线2．直线的斜率(1)定义直线y＝kx＋b中的________叫做这条直线的斜率．(2)斜率的坐标计算公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k＝________(x1≠x2)．y1－y2x1－x2系数k3．直线的倾斜角(1)定义：x轴______与直线______的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________．(2)倾斜角的范围：________________.正向向上零度角0°≤θ180°4．斜率与倾斜角的关系倾斜角斜率k倾斜角与斜率的变化关系或关于直线的说明零角______________________________________________直线的斜率k随着倾斜角的增大而______直角________________________钝角________直线的斜率k随着倾斜角的增大而______0直线平行于x轴或与x轴重合锐角大于0增大不存在直线垂直于x轴小于0增大5.直线斜率的计算步骤(1)给直线上两点的坐标赋值：_________________________________；(2)计算Δx＝________，Δy＝________；(3)如果Δx＝0，则判定______________；(4)如果Δx≠0，计算k＝________；(5)输出斜率k.x1＝？，x2＝？，y1＝？，y2＝？x2－x1y2－y1ΔyΔx斜率k不存在1．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B．3C．1D．22解析：k＝tan30°＝33，故选A．答案：A2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是()A．(4,2)与(－4,1)B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1)D．(－2,2)与(－2,1)答案：D3．已知A(a,2)，B(3，b－1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a＝________.解析：由题可知AB⊥x轴，则a＝3.答案：3典例精析规律总结课堂互动探究1直线的倾斜角类型(1)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．【解析】(1)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.(2)设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.【答案】(1)D(2)135°若直线过点(1,2)和(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：k＝2＋3－24－1＝33，∴tanα＝33，∴α＝30°，故直线的倾斜角是30°，故选A．答案：A2直线的斜率类型(1)已知经过M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．3C．4D．3或4(2)已知点A(1,23＋1)，B(－1,1)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率是()A．1B．33C．3D．不存在【解析】(1)由题得k＝m－4－2－m＝1，∴m＝1，故选A．(2)kAB＝23＋1－11＋1＝3，∴直线AB的倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为30°，∴kl＝33，故选B．【答案】(1)A(2)B【知识点拨】求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角，利用k＝tanα计算；二是已知直线上两点的坐标，利用斜率公式计算，在使用斜率公式时，要注意前提条件x1≠x2.当两点的横坐标有字母时，要先讨论横坐标是否相等，再求解．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝3.因为OB与x轴重合，DC∥OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝33；直线BD的倾斜角为180°－∠OBD＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan120°＝－3.3斜率与倾斜角的综合应用类型经过点P(0,2)的直线l，若直线l与连接A(－3，－1)，B(2,0)的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．－1，33B．[－1，3]C．(－∞，－1]∪33，＋∞D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)【解析】如图所示，直线PM绕P点旋转时，当直线PM由PA逆时针方向转到PB时，PM与线段AB有公共点．又kPA＝2＋10＋3＝3，kPB＝2－00－2＝－1，∴kl≤－1或kl≥3，故选D．【答案】D【知识点拨】数形结合是解决数学问题的常用思想方法和观点．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)．这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2,3＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．解：(1)由斜率公式，得kAB＝1－11－－1＝0，kBC＝3＋1－12－1＝3.kAC＝3＋1－12－－1＝33.在区间[0°，180°)范围内．∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan30°＝33，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为33，3.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线的倾斜角1．如图所示，直线l与y轴垂直，则直线l的倾斜角为()A．0°B．90°C．180°D．不存在答案：A知识点二直线斜率的定义2．下列说法中，正确的是()A．倾斜角为90°的直线只有一条，即y轴B．直线l1的斜率为－2，倾斜角为α1，直线l2的斜率为－3，倾斜角为α2，则α1＜α2C．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0D．任一直线不一定有斜率答案：D知识点三求直线的斜率3．若直线l经过原点和点A(－2，－2)，则它的斜率为()A．－1B．1C．1或－1D．0解析：k＝－2－0－2－0＝1，故选B．答案：B知识点四直线的倾斜角与斜率的综合应用4．经过两点A(2,1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1解析：由题可得kAB＝m－11－2＝1－m,1－m＞0，∴m＜1.故选A．答案：A5．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．解：kAB＝5－13－1＝2，∴kAC＝7－1a－1＝2，∴a＝4，kAD＝b－1－1－1＝2，∴b＝－3.