2020年高中数学 第二章 解析几何初步 3 3.3 空间两点间的距离公式课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步§3空间直角坐标系3.3空间两点间的距离公式自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握长方体的对角线长公式．2．通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．掌握空间两点间的距离公式.1．长方体的对角线连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为_______________．(如图)长方体的对角线2．长方体对角线长如果长方体的长，宽，高分别为a，b，c，那么对角线长_____________________.3．空间一点到原点的距离P(x0，y0，z0)为空间任意一点，则它到原点的距离|OP|＝__________________.d＝a2＋b2＋c2x20＋y20＋z20练一练(1)点A(1,1,1)到坐标原点的距离为()A．1B．2C．3D．3解析：|OA|＝12＋12＋12＝3.答案：C4．空间两点间的距离空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离为：|AB|＝_____________________________.这就是空间两点间的距离公式．x1－x22＋y1－y22＋z1－z22练一练(2)已知点A(1,0,1)，B(0，－2,1)，则线段AB的长为()A．5B．5C．3D．6解析：|AB|＝1－02＋0＋22＋1－12＝5.答案：B学习空间两点间的距离公式应注意什么问题？答：1.空间两点间的距离公式同平面内两点间的距离公式形式上类似，可类比记忆．2．公式中x1与x2，y1与y2，z1与z2的位置可互换．3．空间两点间的距离与坐标系的建立无关，但建立恰当的坐标系，会使运算简便．典例精析规律总结课堂互动探究如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上|MC1|＝2|A1M|点N在D1C上且为D1C的中点．求M，N两点间的距离．【解】以A为坐标原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz.由已知条件可得|A1C1|＝22，由|MC1|＝2|A1M|可得|A1M|＝223，则M23，23，4，由C(2,2,0)，D1(0,2,4)得D1C中点N(1,2,2)．∴|MN|＝23－12＋23－22＋4－22＝533.【规律总结】建立恰当的坐标系可使后续计算简单，应准确求出所需各点的坐标，利用两点间距离公式求解．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，AB＝4，OO1＝3，BC1与B1C交于点P.(1)求AC1的长；(2)求OP的长．解：(1)OA＝3，A在x轴上，∴A(3,0,0)．C1在平面yOz内，且OC＝4，OO1＝3，∴C1(0,4,3)．∴|AC1|＝3－02＋0－42＋0－32＝34.(2)∵B1(3,4,3)，C(0,4,0)，P是B1C的中点，∴P32，4，32.∴|OP|＝322＋42＋322＝822.在xOy平面内的直线x＋y－1＝0上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小，并求出最小值．【解】∵M在xOy平面内的直线x＋y－1＝0上，∴设M(x,1－x,0)，则|MN|＝x－62＋1－x－52＋0－12＝2x－12＋51，∴当x＝1时|MN|最小值为51，此时M(1,0,0)．【规律总结】解决此类问题关键是根据已知条件，合理设出所求点的坐标，再利用两点间距离公式转化为函数问题求解．已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，点P在yOz平面上，且点P与点A，B，C的距离相等，求点P的坐标．解：由于点P在yOz平面上，则可设P(0，y，z)，由题意得|PA|＝|PC|，|PB|＝|PC|，所以0－32＋y－12＋z－22＝0－02＋y－52＋z－12，0－42＋y＋22＋z＋22＝0－02＋y－52＋z－12，解得y＝1，z＝－2，所以点P的坐标是(0,1，－2).正方形ABCD与ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)求a为何值时，MN的长最小？写出此时M，N点的坐标．【解】∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M22a，0，1－22a，N22a，22a，0.(1)|MN|＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02＝a2－2a＋1＝a－222＋12.(2)当a＝22时|MN|最短，为22，此时，M，N恰为AC，BF的中点．其坐标分别为M12，0，12，N12，12，0.【规律总结】该题的求解方法较多，但建立空间直角坐标系，利用坐标法求解，避免了几何法求线段长度时的繁杂推理，使求线段长变得直接、简练，体现了坐标法解题的优越性．如图，已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．解：设P(0,0，c)，B(0，b,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PA⊥AB恒成立，则|PA|2＋|AB|2＝|PB|2.∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，即3＋(b－1)2＝b2，解得b＝2.∴存在这样的点B，当点B的坐标为(0,2,0)时，PA⊥AB恒成立．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝2(O为坐标原点)，求点P到点A(1,1,1)的距离．【错解】设P(0,0，z)由|OP|＝2得，z2＝2，z＝2，∴P(0,0,2)．∴|PA|＝12＋12＋1－22＝3.【错因分析】开方时考虑不周密，丢解．【正解】设P(0,0，z)，由|OP|＝2得，z2＝2|z|＝2，z＝±2，∴P(0,0,2)或P(0,0，－2)．∴|PA|＝12＋12＋1－22＝3或|PA|＝12＋12＋1＋22＝11.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一空间的一点到原点的距离1．点P(1，－2,2)到原点的距离为()A．9B．3C．1D．5解析：|OP|＝12＋－22＋22＝3.答案：B2．点B是点A(1,2,3)在坐标平面上yOz内的射影，则|OB|等于()A.14B．13C．23D．11解析：B(0,2,3)|OB|＝02＋22＋32＝13.答案：B知识点二空间两点间距离的应用3．点P(x,2,1)到点Q(1,1,2)，R(2,1,1)的距离相等，则x的值为()A.12B．1C．32D．2解析：由|PQ|＝|PR|得，x－12＋2－12＋1－22＝x－22＋2－12＋1－12，解得x＝1.答案：B4．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．解析：由两点间的距离公式可得|AB|＝1－t－22＋1－t－t2＋t－t2＝5t－152＋95≥355.答案：3555．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝________.解析：M＝2，32，3|CM|＝2－02＋32－12＋3－02＝13＋14＝532.答案：532