2020年高中数学 第二章 解析几何初步 3 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中

第二章解析几何初步§3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.1．空间直角坐标系的建立(1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴，这样就建立了三个维度的空间直角坐标系．一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就___________水平面．它们的方向通常符合______________，即伸出右手，让四指与___________垂直，并使四指先指向______________，垂直于右手螺旋法则大拇指x轴正方向然后让四指沿___________旋转90°指向___________正方向，此时___________的指向即为z轴正方向，我们也称这样的坐标系为右手系．(2)在空间直角坐标系中，O叫作___________，x，y，z轴统称为___________．由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x，y确定的平面记作___________，y，z确定的平面记作___________，x，z确定的平面记作___________．握拳方向y轴大拇指原点坐标轴xOy平面yOz平面xOz平面2．空间直角坐标系中点的坐标(1)类似于平面直角坐标系中点的坐标表示，在空间直角坐标系中，用一个____________来刻画空间点的位置，任意一点P的坐标记为___________．第一个是_____坐标，第二个是________坐标，第三个是___________坐标．三维有序数组(x，y，z)xyz练一练(1)点Q(0,0,1)的位置是()A．在x轴上B．在y轴上C．在z轴上D．在面xOy上答案：C练一练(2)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上答案：C空间直角坐标系的建立需具备哪些条件？答：(1)在空间任选一点O称为坐标原点；(2)在点O处作三条两两互相垂直的轴Ox，Oy，Oz，称其为坐标轴；(3)在三个坐标轴上选定长度单位．典例精析规律总结课堂互动探究在空间直角坐标系中作出点A(－1，－1,3)，B(－2,2,1)，C(2,1，－1)．【解】在xOy平面内确定A′(－1，－1，0)，过A′沿z轴向上的方向取|A′A|＝3，则A(－1，－1,3)即为所求的点，同理，在xOy平面内确定点B′(－2,2,0)，C′(2,1,0)，再分别沿z轴正方向取|B′B|＝1，沿z轴负方向取|C′C|＝1.点B(－2,2,1)，C(2,1，－1)即为所求的点．【规律总结】对于P(x，y，z)，x，y，z至少有一个为0的点可在x，y，z轴或三个坐标平面内确定；x，y，z都不为0时，先根据该点x，y坐标在xOy平面内确定点P′(x，y,0)，再过P′作xOy平面的垂线，根据竖坐标沿z轴正方向或负方向截取|PP′|即可．点P(3,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．z轴上B．xOy平面上C．yOz平面上D．xOz平面上答案：B在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．【解】建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为E0，0，12.点F在xOy平面内，其坐标为F12，12，0.G点在y轴上，其坐标为G0，34，0.过H作HK⊥CD于K，由于H为C1G的中点，故HK＝12，CK＝18，DK＝78，故H点坐标为H0，78，12.【规律总结】对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，可过此点作xOy平面的垂线，先求垂足的坐标，其横、纵坐标与所求点的横、纵坐标一致，再求竖坐标即可．如图，正方体的棱长为1，点A是其一棱的中点，则点A在空间直角坐标系中的坐标是()A.12，12，1B.1，1，12C.12，1，12D.1，12，1解析：点A在平面xOy内的射影坐标为(1,1,0)，点A的竖坐标为12.∴点A的坐标为1，1，12.答案：B求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．【解】过点A作AM⊥xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称且点C(1,2,1)．如图．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与点B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；点A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．【规律总结】1.关于坐标平面对称的点，关于哪个面对称，其对应坐标不变，另外的坐标变成相反数．2．点关于哪条坐标轴对称，其对应轴的坐标不变，另外两个变为原来坐标的相反数．3．关于原点对称的点，三个坐标都变为相反数．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．解：点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点为A2(4,2，－3)，点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点为A3(－4，－2，－3)．∴AA3中点M的坐标为M(－4,0,0)．已知三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．【错解】如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，显然A(0,0,0)，又∵棱长均为1，且B，C，A1在坐标轴上．∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)．又∵B1，C1分别在xOz平面和yOz平面，∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．【错因分析】空间直角坐标系中三条坐标轴应两两互相垂直，错解中，x轴与y轴不垂直．【正解】如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝32.∵A，B，C均在坐标轴上，∴A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0.∵点A1与C1在yOz平面内，∴A10，－12，1，C10，12，1，点B1在xOy平面内射影为B，且BB1＝1.∴B132，0，1.∴各点的坐标为A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，A10，－12，1，B132，0，1，C10，12，1.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一空间点的坐标1．空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz平面上的是()A．(3,2,1)B．(2,0,0)C．(5,0,2)D．(0，－1，－3)解析：空间直角坐标系中，yOz平面上的点的横坐标为0.答案：D2．在空间直角坐标系中，过点P(4,1,3)作xOz平面的垂线，垂足为P′，则点P′的坐标为()A．(4,1,0)B．(4,0,3)C．(0,1,3)D．(0,1,0)解析：P′的纵坐标为0，横、竖坐标与P横、竖坐标相同，∴P′(4,0,3)．答案：B3．已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足xyz，且x＋y＋z＝0，则M点的位置是()A．一定在xOy平面上B．一定在yOz平面上C．一定在xOz平面上D．可能在xOz平面上解析：由题意知，x0，z0，y的取值任意，∴可能在xOz平面上．答案：D知识点二空间点的对称问题4．点P(3,4，－2)关于z轴对称的点的坐标是________．解析：P关于z轴对称，其竖坐标不变，其余两个变为原来的相反数，即对称点P′(－3，－4，－2)．答案：(－3，－4，－2)知识点三空间线段中点坐标5．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．解析：设中点M(x，y，z)，则x＝3＋52＝4，y＝2－22＝0，z＝－4＋22＝－1，∴M点的坐标为M(4,0，－1)．答案：(4,0，－1)