2020年高中数学 第二章 解析几何初步 2 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（2）课件 北师大版

第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握圆与圆的位置关系及判断方法．2．能根据圆与圆的位置关系解决一些简单问题.1．圆与圆的位置关系有：___________、___________、___________、___________、___________．相离外切相交内切内含2．圆与圆的位置关系的判断方法：设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系图示d与r1、r2的关系相离___________外切___________d＞r1＋r2d＝r1＋r2位置关系图示d与r1、r2的关系相交_________________________内切___________内含___________|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|练一练(1)圆(x－1)2＋y2＝1和圆x2＋(y＋2)2＝4的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：圆心C1(1,0)，C2(0，－2)，|C1C2|＝12＋22＝5r1＋r2＝3，且|C1C2|2－1＝1.∴两圆相交．答案：C练一练(2)两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：两圆方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆心C1(2，－1)，C2(－2,2)，半径r1＝2，r2＝3.|C1C2|＝2＋22＋－1－22＝5＝r1＋r2.∴两圆外切，公切线有三条．答案：C1．如何判断两圆的位置关系？答：判断两圆的位置关系，一般有代数法和几何法两种方法．代数法是把位置关系的判定转化为求方程组的解，计算量偏大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距d与|r1－r2|r1＋r2的大小即可得出位置关系．2．如何求两相交圆的公共弦所在直线的方程？答：求两圆公共弦所在直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．求公共弦长时，应注意数形结合．典例精析规律总结课堂互动探究已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．【解】对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝a－2a2＋1－12＝a，(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5即a＞5时，两圆相离．(4)当|C1C2|＜3即0a＜3时，两圆内含．【规律总结】判断两圆的位置关系通常采用几何法，求出圆心距d，比较d与r1＋r2及|r1－r2|的大小关系，即可得出两圆的位置关系．圆x2＋y2－6x＝0和圆x2＋y2＋8y＋12＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：两圆的标准方程分别为(x－3)2＋y2＝9，x2＋(y＋4)2＝4，圆心分别为(3,0)，(0，－4)．圆心距d＝0－32＋－4－02＝5，半径和为3＋2＝5，∴两圆外切．答案：B已知两圆x2＋y2＝25和x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点．(1)求弦AB所在直线方程；(2)求弦长|AB|.【解】(1)将两圆方程作差得弦AB所在直线方程为4x＋2y－5＝0.(2)圆x2＋y2＝25的圆心到直线4x＋2y－5＝0的距离d＝|－5|42＋22＝52.|AB|2＝25－522＝952，∴|AB|＝95.【规律总结】求两圆公共弦所在直线方程，一般不用求交点，而是将两圆方程化为一般式，作差消去二次项即得直线方程．求弦长一般用半径、弦心距求半弦长，再得弦长．已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程．【解】解法一：解方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)．设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，则有a2＋－a－22＝a＋42＋a2＝r，解得a＝－3，r＝10，因此，圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.解法二：解方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，得交点坐标为A(0,2)，B(－4,0)，线段AB中垂线的方程为2x＋y＋3＝0.方程组2x＋y＋3＝0，x＋y＝0的解为x＝－3，y＝3.∴圆心坐标为(－3,3)，半径r＝－3－02＋3－22＝10，∴圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.【规律总结】本题考查了直线和圆、圆与圆的位置关系，此类题目可以结合图形，分析条件之间的内在联系，并结合直线、圆的几何性质求解．求与圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)，且半径为1的圆C2的方程．解：C1(2，－1)，则过A(4，－1)和C1(2，－1)的直线方程为y＝－1，设C2(a，－1)，由|AC2|＝1，即|a－4|＝1，得a＝3或a＝5.∴所求方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.求与y轴相切，且与圆x2＋y2－4x＝0也相切的圆P的圆心轨迹方程．【错解】设P(x，y)，动圆的半径为r′.圆x2＋y2－4x＝0化为标准方程为：(x－2)2＋y2＝4，其圆心为A(2,0)，半径r＝2.∵圆P与y轴相切，∴x＝r′.又圆与圆x2＋y2－4x＝0相切，∴|PA|＝x＋2.∴x－22＋y2＝x＋2.∴y2＝8x.【错因分析】圆与y轴相切时，圆可以在y轴两侧，则圆心横坐标的绝对值等于圆的半径．两圆相切，可能内切，也可能外切，错解中丢掉了内切的情形．【正解】∵圆P与y轴相切，∴|x|＝r′＞0.又圆P与已知圆相切，∴当两圆外切时|PA|＝r′＋2，即x－22＋y2＝|x|＋2.两边平方，得y2＝4|x|＋4x.当x＞0时，y2＝8x.当x＜0时，化简得y＝0.当两圆内切时|PA|＝|r′－2|＝||x|－2|即x－22＋y2＝||x|－2|.两边平方，得y2＝4x－4|x|.当x＞0时，y2＝0，即y＝0(x≠2)．当x＜0时，y2＝8x无意义．综上，动圆圆心P的轨迹方程为y2＝8x(x＞0)或y＝0(x≠0，x≠2)．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两圆的位置关系1．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切解析：C1(－2,2)，C2(2,5)，|C1C2|＝－2－22＋2－52＝5，r1＋r2＝1＋4＝5＝|C1C2|∴两圆外切．答案：D2．已知圆C1与C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为()A．6或14B．10C．14D．不确定解析：当两圆外切时，4＋r2＝10，r2＝6；当两圆内切时，r2－4＝10，r2＝14.答案：A3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，两半径之和为3，故两圆相交．答案：B知识点二两圆位置关系的应用4．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：两圆化成标准方程为C1：(x－4)2＋(y－2)2＝9，C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.|PQ|最小值为圆心距与两半径之和的差，即[4－－2]2＋[2－－1]2－3－2＝35－5.答案：35－55．已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB垂直平分线的方程是________________．解析：解法一：解方程组x2＋y2－4x＋6y＝0，x2＋y2－6x＝0，得x1＝0，y1＝0或x2＝275，y2＝－95.则A(0,0)，B275，－95.kAB＝－13，AB的中点M2710，－910.AB中垂线方程为y＋910＝3x－2710，即3x－y－9＝0.解法二：由圆的几何性质，圆心的连线即为AB线段的垂直平分线，C1(2，－3)，C2(3,0)，k＝0－－33－2＝3，∴所求直线方程为y＝3(x－3)，化简得：3x－y－9＝0.答案：3x－y－9＝0