2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.2 直线的方程（2）课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步1.2直线的方程(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|掌握直线方程的两点式、截距式和一般式．能根据条件选择适当形式的直线方程解决问题.1．直线方程的两点式：过A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程为______________，与___________垂直的直线没有两点式方程．坐标轴y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1练一练(1)过点A(1,2)，B(3,4)的直线l的方程为()A．x＋y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0解析：直线方程为y－24－2＝x－13－1，即x－y＋1＝0.答案：D2．直线方程的截距式：经过两点P(a,0)，Q(0，b)其中(ab≠0)的直线l的截距式方程为：____________.其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．与___________垂直和过原点的直线均没有截距式．坐标轴xa＋yb＝1练一练(2)在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x5＋y3＝1B．x5－y3＝1C.y3－x5＝1D．x5＋y3＝0答案：B3．直线方程的一般式：关于x、y的二元一次方程___________(A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．Ax＋By＋C＝0练一练(3)斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线方程是()A．3x＋y＋6＝0B．3x－y＋2＝0C．3x＋y－6＝0D．3x－y－2＝0解析：y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.答案：C用直线方程的两点式或截距式解题时应注意什么？答：用两点式或截距式表示直线方程时，都有其局限性，不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式还不能表示过原点的直线．平面内所有直线的方程都可写成一般式，对于所求直线方程，在没有特殊说明的情况下，应该化为一般式方程．典例精析规律总结课堂互动探究已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程，并整理成一般式．【解】直线AB方程为y－－30－－3＝x－3－5－3，整理得3x＋8y＋15＝0，令x＝0，得y＝－158.则E0，－158.直线BC方程为y－－32－－3＝x－30－3，整理得5x＋3y－6＝0，令y＝0，得x＝65，则F65，0，∴直线EF的方程为y－－1580－－158＝x－065－0，整理得25x－16y－30＝0.∴直线EF的方程为25x－16y－30＝0.【规律总结】已知直线上两点坐标，求直线方程时，一般用两点式，但要注意条件，x1≠x2，y1≠y2.过点(－2,1)，(3，－3)的直线方程为()A．4x＋5y＋3＝0B．4x－5y＋13＝0C．5x＋4y＋5＝0D．5x－4y＋8＝0解析：由题意知，直线方程的两点式为y－1－3－1＝x－－23－－2，即4x＋5y＋3＝0.答案：A已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【解】设直线l在两坐标轴上的截距均为a，当a＝0时，直线l过原点，此时方程为y＝－23x即2x＋3y＝0.当a≠0时，设l的方程为xa＋ya＝1，l过点(3，－2)，∴3a＋－2a＝1，a＝1，则l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0.综上可得，直线l的方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.【规律总结】应用截距式解题时，要注意它表示直线的局限性，垂直坐标轴的直线及过原点的直线都不能写成截距式，要单独讨论这些情况有无可能出现．已知直线l过点(1,2)且横截距是纵截距的2倍，求直线l的方程．解：设直线在x、y轴上的截距分别为2b，b.当b＝0时，直线过原点，方程为y＝2x即2x－y＝0.当b≠0时，设方程为x2b＋yb＝1，∵经过点(1,2)，∴12b＋2b＝1，解得：b＝52.∴直线方程为x5＋y52＝1，即x＋2y－5＝0.综上，直线方程为2x－y＝0或x＋2y－5＝0.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l的方程．【解】解法一：设直线l的点斜式方程为y＋2＝k(x－6)(k≠0)．令x＝0，得y＝－6k－2，令y＝0，得x＝2k＋6.∴2k＋6－(－6k－2)＝1，k1＝－23，k2＝－12.∴直线l方程为y＋2＝－23(x－6)或y＋2＝－12(x－6)，即y＝－23x＋2或y＝－12x＋1.解法二：设直线l的斜截式方程为y＝kx＋b，令y＝0得x＝－bk.则－bk＝b＋1，6k＋b＝－2，解得k＝－12，b＝1，或k＝－23，b＝2.∴直线l方程为y＝－12x＋1或y＝－23x＋2.解法三：设直线l与y轴交点为(0，b)，则直线方程的两点式为y－b－2－b＝x－06－0.令y＝0，得x＝6bb＋2.∴6bb＋2＝1＋b，解得b＝1或b＝2.∴直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.解法四：设直线l的截距式方程为xb＋1＋yb＝1，直线过点(6，－2)，∴6b＋1＋－2b＝1，b＝1或b＝2，∴x2＋y＝1或x3＋y2＝1.即x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.【规律总结】本题用了直线方程的四种不同形式求解，也可设直线方程的一般形式求解．可以比较每种解法，力争选出较简便的方法解题．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．解：(1)证明：证法一：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴直线l的斜率为a，且过定点A15，35.而点A15，35在第一象限，∴不论a为何值时，l恒过第一象限．证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.∵对任意的a，上式恒成立．∴5x－1＝0，3－5y＝0，即x＝15，y＝35.∴直线l恒过定点A15，35，且A15，35在第一象限．∴不论a为何值时，l恒过第一象限．(2)直线方程可转化为：y＝ax＋3－a5，若直线不经过第二象限，则a0，且纵截距不大于零，即a0，3－a5≤0，解得a≥3.∴a的取值范围是[3，＋∞)．若关于x，y的方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0表示某条直线的方程，求实数a的值．【错解】若方程表示某条直线，则a2－a－2≠0，2－a≠0，解得a≠2且a≠－1.【错因分析】对直线的一般方程中“A，B不同时为零”这个条件理解和运用不准确．【正解】若a2－a－2与2－a同时为0，则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0不表示任何直线，此时a＝2.所以当a≠2时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0表示某条直线的方程．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线的两点式方程1．过P(2,1)，Q(6，－2)两点的直线的两点式方程为()A.y－1x－2＝－2－16－2B．y＋2x－6＝－2－16－2C.y－1－2－1＝x－26－2D．y＋2x－6＝1－－22－6答案：C知识点二直线的截距式方程2．如果直线l过点(－4，－6)和(2,6)两点，点(1007，b)在直线l上，则b的值为()A．2015B．2016C．2017D．2018解析：直线l的方程为y＋66＋6＝x＋42＋4，即2x－y＋2＝0，∵点(1007，b)在直线l上，∴2×1007－b＋2＝0，∴b＝2016.答案：B3．在x轴，y轴上的截距分别是－2,3的直线方程是()A．2x－3y－6＝0B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：直线方程为x－2＋y3＝1，整理得3x－2y＋6＝0.答案：C4．经过点P(1,2)，并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：解法一：画图知，过原点的一条，截距相等的一条，截距互为相反数的一条，共3条．解法二：当直线过原点时，有一条：y＝2x；当截距相等时，可设方程为x＋y＝a，代入P(1,2)，得a＝3，方程为x＋y＝3；当截距互为相反数时，可设方程为x－y＝a，代入P(1,2)，得a＝－1，方程x－y＋1＝0，共3条．答案：C知识点三直线方程的应用5．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6，求直线l的方程．解：设直线l方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，则12ab＝6，1a＋3b＝1，解得a＝2，b＝6.∴l的方程为x2＋y6＝1，即3x＋y－6＝0.