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第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解二分法求方程近似解的原理．2．能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解．3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.1．变号零点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值______，即____________，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．f(a)·f(b)＜0异号2．二分法的定义对于在区间[a，b]上__________且_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．连续不断一分为二逐步逼近零点f(a)·f(b)＜03．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证______________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则____________________；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈_____)；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈_____)．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．c就是函数的零点(a，c)(c，b)f(a)·f(b)＜01．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0)B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]解析：∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即x＝－m2，∴－1－m20，解得0m2.答案：B2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：f(0)＝20－3＝－2＜0，f(1)＝21－3＝－1＜0，f(2)＝22－3＝1＞0，∴初始区间可选为(1,2)，故选C．答案：C3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)0，f(2.5)0，∴下一个有根区间是(2，2.5)．答案：(2,2.5)典例精析规律总结课堂互动探究1二分法的定义类型下列函数中，不能用二分法求零点的是()【解析】【答案】B【知识点拨】用二分法求零点需满足①图象连续；②函数值符号相异．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4答案：C2用二分法求方程的近似解类型求方程x2－2x－1＝0的一个近似解(精确度0.1)．【分析】由本题可获取以下主要信息：(1)该题为求解一元二次方程x2－2x－1＝0的一个近似解，即求函数f(x)＝x2－2x－1的一个近似零点；(2)精确度0.1，解答本题可先利用图象直观得到某根所在的区间，然后利用二分法求近似解．【解】设函数f(x)＝x2－2x－1，先画出草图，如图所示．∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解．记作x1，取(2,3)的中点为2.5.∵f(2.5)＝0.25＞0，∴x1∈(2,2.5)，再取(2,2.5)的中点2.25.∵f(2.25)＝－0.4375＜0，∴x1∈(2.25,2.5)．同理x1∈(2.375,2.5)，x1∈(2.375,2.4375)．∵|2.4375－2.375|＝0.0625＜0.1，∴此方程的一个近似解可取为2.4375.【知识点拨】求方程f(x)＝0的近似解，即在一定精确度的要求下求相应函数的零点的近似值，我们通常是通过“取中点”，不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值．在二分法求方程f(x)＝0在[0,4]上的近似解时，最多经过________次计算精确度可以达到0.001.解析：由题可知4×12n＜0.001，即12n－2＜11000，当n＝11时，1512＞11000，当n＝12时，11024＜11000，∴最多经过12次计算．答案：12即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一二分法的定义1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A知识点二零点的判断2．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是()A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点解析：f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0或三个都小于0，则零点必含于(0,4)，故选D．答案：D知识点三二分法3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]解析：第二次取区间可能是[－2,1]或[1,4]，则第三次取区间可能是－2，－12或－12，1或1，52或52，4，故选D．答案：D知识点四二分法求近似解4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5解析：由题中数据可知f(x)的零点在(1.4065,1.438)区间内，∴方程的一个近似根为1.4，故选C．答案：C5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．解析：由f(2)·f(x1)0，可知零点x0∈(2，x1)．答案：(2,3)