2020年高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点课件 新人教B版必修1

第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．理解函数零点存在性的判定方法.1．函数的零点：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于____，即________，则α叫做这个函数的______，在坐标系中函数的图象与x轴的公共点是_________．2．二次函数的零点对于二次函数y＝ax2＋bx＋c当Δ＝b2－4ac0时，有____个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，有____个零点；当Δ＝b2－4ac0时，没有零点．f(α)＝0(α，0)零零点211．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－12，－1B．12，1C．12，－1D．－12，1解析：f(x)＝2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)＝0，∴2x－1＝0或x－1＝0，∴x＝12，x＝1，故选B．答案：B2．函数f(x)＝x－4x的零点个数为()A．0B．1C．2D．无数个解析：f(x)＝x－4x＝0，∴x2－4＝0，x＝2或x＝－2，故选C．答案：C3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，已知ac0，则函数的零点有________个．解析：∵ac0，∴Δ＝b2－4ac0，∴函数有2个零点．答案：2典例精析规律总结课堂互动探究1求函数的零点类型求下列函数的零点．(1)y＝x2＋6x＋5；(2)y＝x2－1x；(3)y＝x＋1，x＞0，x2－4，x≤0.【解】(1)令y＝x2＋6x＋5＝0，∴(x＋1)(x＋5)＝0，∴x＝－1，x＝－5，所以函数y＝x2＋6x＋5的零点是－1，－5.(2)由y＝x2－1x＝0，∴x2－1＝0，x＝1或x＝－1，所以函数y＝x2－1x的零点是1或－1.(3)当x＞0时，x＋1＝0，x＝－1＜0；当x≤0时，x2－4＝0，x＝－2或x＝2(舍)．所以函数y＝x＋1，x＞0，x2－4，x≤0的零点是－2.【知识点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，求函数的零点就是求该函数y＝f(x)所对应的方程f(x)＝0的根．函数f(x)＝x(x2－16)的零点为()A．(0,0)，(4,0)B．0,4C．(－4,0)，(0,0)，(4,0)D．－4,0,4答案：D若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，求函数g(x)＝bx2＋3ax的零点．解：f(x)＝ax－b的零点为3，∴3a－b＝0，∴b＝3a，∵b≠0，∴a≠0，∴g(x)＝3ax2＋3ax＝3ax(x＋1)，∴g(x)＝0的根为x＝0或x＝－1.∴函数g(x)的零点为0，－1.2函数零点的判断类型(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x＋1有一正一负两个零点，求a的取值范围；(2)如果函数f(x)＝ax2＋2x＋1有一个零点，求a的取值范围；(3)如果函数f(x)＝ax2＋2x＋1在[0,1]有一个零点，求a的取值范围．【解】(1)若f(x)＝ax2＋2x＋1有一正一负两个零点，只需a＜0，f0＝1＞0.∴a＜0.(2)当a＝0时，f(x)＝2x＋1＝0，∴x＝－12，f(x)有一个零点．当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋1＝0，x＝－1，f(x)有一个零点．∴a的值为a＝0或a＝1.(3)a满足f(0)·f(1)≤0.即a＋3≤0，∴a≤－3，当a＝0或a＝1时不符合条件．∴a的范围是a≤－3.【知识点拨】如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根，但是不能明确说明有几个零点．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)6.12.9－3.5那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A．(－∞，1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3，＋∞)解析：由题可知f(2)＝2.9＞0，f(3)＝－3.5＜0.∴f(x)一定存在零点的区间为(2,3)，故选C．答案：C若方程ax2＋(a＋1)x＋a2－4＝0的两根中，一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋a2－4，当a0时，f(1)＝a＋a＋1＋a2－4＝a2＋2a－30，∴－3a1，即0a1.当a0时，f(1)＝a2＋2a－30，即a1或a－3.∴a－3.∴a的取值范围是a－3或0a1.答案：(－∞，－3)∪(0,1)3函数零点的应用类型若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．【解析】y＝x2－|x|＋a＝x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x＜0的图象如图示．函数的图象与y轴的交点为(0，a)．函数的最小值点为－12，－14＋a或12，－14＋a，若y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则只需－14＋a＜1＜a，解得1＜a＜54.【答案】1，54【知识点拨】函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域为[－1,1]时，求其值域．解：(1)∵f(x)的两个零点分别是－3,2，∴f－3＝0，f2＝0，即－3,2是ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，∴8－ba＝－3＋2，－a－aba＝－6，∴a＝－3，b＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，对称轴x＝－12，开口向下，∴当x＝－12时，f(x)max＝754，当x＝1时，f(x)min＝12.∴值域为12，754.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一零点存在性定理1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根解析：函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实根．答案：D知识点二求函数的零点2．函数f(x)＝x2－x－1的零点有()A．2个B．1个C．0个D．都有可能解析：∵Δ＝1＋4＝50，∴f(x)有两个零点，故选A．答案：A3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋3x即f(x)＝－x2－3x，∴当x≥0时，g(x)＝x2－3x－x＋3＝x2－4x＋3＝0，∴x＝1或x＝3；当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3＝0，∴x＝－2－7或x＝－2＋7(舍)，∴g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}，故选D．答案：D知识点三零点的应用4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，下列关于x1，x2的式子：①x1＜2且2＜x2＜5；②x1＞2且x2＞5；③x1＜2且x2＞5；④2＜x1＜5且x2＞5；⑤x1＋x2＝7.其中错误的有________．解析：∵f(x)＝(x－2)(x－5)－1，∴f(1)＝3＞0，f(2)＝－1＜0，f(5)＝－1＜0，f(6)＝3＞0，∴f(x)的两个零点满足1＜x1＜2,5＜x2＜6，故③正确；∵f(x)＝x2－7x＋9的对称轴为x＝72，∴x1＋x2＝7，⑤正确．答案：①②④5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且函数f(x)有且只有一个零点，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈(－1,2)时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)由题可知4a－2b＋1＝1，b2－4a＝0，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，若g(x)在(－1,2)时是单调函数，则－2－k2×1≤－1或－2－k2×1≥2，∴k≤0或k≥6.