2020年高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1

第二章函数2.1函数2.1.4函数的奇偶性自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解函数奇偶性的含义，理解函数奇偶性的定义和奇偶函数的图象性质．2．会运用函数奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性，并会利用奇偶性研究函数的求值、定义域、值域、单调性、作函数的图象等．3．通过学习函数的奇偶性提高数形结合和化归转化能力.1．奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且___________________，则这个函数叫做奇函数．2．偶函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且_______________，则这个函数叫做偶函数．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)3．奇函数与偶函数的图象的对称性(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以__________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以__________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以_____为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_____对称，则这个函数是偶函数．y轴y轴坐标原点坐标原点1．下列函数是偶函数的是()A．y＝x2，x∈[－1,2]B．y＝x2＋x，x∈RC．y＝3|x|，x∈RD．y＝1x，x∈R答案：C2．已知函数f(x)是定义在[a＋3,2a]上的奇函数，则实数a的值为________．解析：由题意可知a＋3＋2a＝0，∴a＝－1.答案：－13．函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝________.解析：f(x)＝x2x＋1x－a的定义域为xx≠－12且x≠a，由奇函数的定义，可知a＝12.答案：12典例精析规律总结课堂互动探究1判断函数的奇偶性类型(1)下列函数中，在其定义域上既是奇函数，又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝－1xD．y＝x|x|(2)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝|x|＋xB．f(x)＝x2＋1xC．f(x)＝x2＋xD．f(x)＝|x|x2【解析】(1)y＝x＋1是非奇非偶函数，y＝－x3在定义域上是减函数，y＝－1x在定义域内不单调，y＝x|x|，f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，∴y＝x|x|是奇函数，又y＝x2，x≥0，－x2，x＜0.∴在定义域上是增函数，故选D．(2)A中f(－x)＝|－x|－x＝|x|－x≠f(x)，∴f(x)＝|x|＋x不是偶函数；B中f(－x)＝(－x)2＋1－x＝x2－1x≠f(x)，∴f(x)＝x2＋1x不是偶函数；C中f(x)＝(－x)2－x＝x2－x≠f(x)，∴f(x)＝x2＋x不是偶函数；D中f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝|－x|－x2＝|x|x2＝f(x)，∴f(x)＝|x|x2是偶函数．【答案】(1)D(2)D【知识点拨】函数的奇偶性相对于函数的定义域而言，是函数的整体性质，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，所以在判断函数的奇偶性时，首先要看定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，若函数f(x)＝c(x∈(－m，m))(c为常数)是偶函数，f(x)＝0(x∈(－m，m))既是奇函数又是偶函数．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(2)f(x)＝1x；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x－1·x＋1.解：(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以，函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数．(2)因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，所以，函数f(x)＝1x是奇函数．(3)函数的定义域为实数集R，定义域关于坐标原点对称．因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为[1，＋∞)，由于f(x)的定义域关于坐标原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2利用奇偶性求函数的解析式类型已知分段函数f(x)是奇函数，当x∈(0，＋∞)时的解析式为y＝x2＋x＋1，求函数f(x)在R上的解析式．【解】设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－x＋1＝x2－x＋1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x－1，又f(0)＝0，∴f(x)＝x2＋x＋1，x＞0，0，x＝0，－x2＋x－1，x＜0.【知识点拨】利用函数的奇偶性求解析式(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)根据函数的奇偶性，求出所求区间上的解析式．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2＋1]＝－3，故选A．答案：A设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－3x，那么当x0时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2＋3xB．f(x)＝－x2＋3xC．f(x)＝x2－3xD．f(x)＝－x2－3x解析：当x0时，－x0，f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x.故选D．答案：D3奇偶性的综合应用类型(1)已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A．1B．2C．3D．4(2)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为()A．(－1,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)(3)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上有单调性，且f(－2)＜f(1)，则下列不等式成立的是()A．f(－1)＜f(2)＜f(3)B．f(2)＜f(3)＜f(－4)C．f(－2)＜f(0)＜f12D．f(5)＜f(－3)＜f(－1)【解析】(1)解法一：f(x)的定义域为R，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，∴(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0，∴m＝2，故选B．解法二：∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴m－1＋m－2＋m2－7m＋12＝m－1－m＋2＋m2－7m＋12，∴m＝2，故选B．(2)f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)内为减函数，f(－2)＝0，可得f(x)的草图如下，∴xf(x)＜0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C．(3)∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)＞f(－2)，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(5)＜f(3)＝f(－3)＜f(1)＝f(－1)，故选D．【答案】(1)B(2)C(3)D【知识点拨】奇函数的图象关于原点对称，所以奇函数在对称区间上单调性一致；偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数在对称区间上单调性相反．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且满足f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝()A．4B．3C．2D．1解析：由f(－1)＋g(1)＝2，得－f(1)＋g(1)＝2，由f(1)＋g(－1)＝4，得f(1)＋g(1)＝4，∴2g(1)＝6，g(1)＝3，故选B．答案：B已知减函数y＝f(x－1)是定义在R上的奇函数，则不等式f(1－x)＞0的解集为()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：因为f(x)的图象是由f(x－1)的图象向左平移一个单位得到，所以f(x)在R上是减函数，且f(－1)＝0，∴f(x)＞0的解为x＜－1，∴f(1－x)＞0，则1－x＜－1，∴x＞2，故选B．答案：B设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＜f(－2)＜f(－3)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＞f(－3)＞f(－2)解析：由题可知，f(x)在[0，＋∞)为增函数，又f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又2＜3＜π，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，故选D．答案：D已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________.解析：f(－2)＝(－2)5＋(－2)3a－2b－8＝10，∴25＋23a＋2b＝－18.∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝－18－8＝－26.答案：－26即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一判断函数的奇偶性1．下列函数是奇函数的是()A．y＝x＋1x2B．y＝|x－2|＋|x＋2|C．y＝x－x|x|D．y＝x2＋xx＋1解析：y＝x＋1x2是非奇非偶函数；y＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数；y＝x－x|x|是奇函数；y＝x2＋xx＋1是非奇非偶函数．答案：C知识点二利用奇偶性求参数2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12解析：由题可得a－1＋2a＝0，b＝0，∴a＝13，b＝0，a＋b＝13，故选B．答案：B知识点三奇偶性的综合应用3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(3－x)＝f(x)，若f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A．5B．4C．3D．2解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，由f(2)＝0，得f(－2)＝0，将x＝2代入f(3－x)＝f(x)，得f(1)＝f(2)＝0，将x＝－2代入f(3－x)＝f(x)，得f(5)＝f(－2)＝0，∴f(－1)＝f(1)＝0，f(4)＝f(－1)＝0，∴f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是4，故选B．答案：B知识点四奇偶性与单调性4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：由f(x)为奇函数，fx－f－xx0，得2fxx0.又f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(1)＝0.∴当x0时，f(x)0，即f(x)f(1)，由f(x)在(0，＋∞)上为增函数，得0x1；当x0时，f(x)0，即f(x)f(－1)，又奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则函数在(－∞，0)上为增函数，∴x－1，∴－1x0.由以上可知，不等式的解集为(－1，0)∪(0,1)．故选D．答案：D知识点五奇函数的综合应用5．已知f(x)为偶函数，g(x)＝f(x)＋x3，且g(2)＝10，则g(－2)＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，g(2)＝f(2)＋8＝10，∴f(2)＝2，g(－2)＝f(－2)＋(－2)3＝f(2)－8＝2－8＝－6.答案：－6