2020年高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性课件 新人教B版必修1

第二章函数2.1函数2.1.3函数的单调性自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解函数单调性的概念．2．学会运用单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．结合定义或根据函数图象，求函数的单调区间．4．培养学生数形结合的能力和化归转化的能力.1．增函数与减函数设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的______两个值x1，x2.当改变量Δx＝x2－x10时，有____________________，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是________．当改变量Δx＝x2－x10时，有____________________，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是________．Δy＝f(x2)－f(x1)0Δy＝f(x2)－f(x1)0任意增函数减函数2．单调区间与单调性如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在区间M上具有单调性．区间M称为__________．增函数减函数单调区间1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()A．y＝x2－2B．y＝3xC．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)2答案：C2．函数f(x)＝x2＋x＋1(x∈R)的减区间是()A．－12，＋∞B．[－1，＋∞)C．－∞，－12D．(－∞，＋∞)答案：C3．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]典例精析规律总结课堂互动探究1用定义证明函数的单调性类型已知函数f(x)＝1x2－1.(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．【解】(1)由x2－1≠0，得x≠1且x≠－1，∴f(x)的定义域A＝{x|x≠1且x＝－1}．(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明如下：设1＜x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x21－1－1x22－1＝x22－1－x21＋1x21－1x22－1＝x2－x1x1＋x2x21－1x22－1.∵1＜x1＜x2，∴x21－1＞0，x22－1＞0，x2－x1＞0，x1＋x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．【知识点拨】用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是所研究的区间内的任意两个值，且x1x2，实际做题的过程中可以这样写：任取x1，x2∈M，且x1x2，则Δx＝x2－x10；(2)求Δy：计算Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法将Δy变形，使其有利于判断它的符号；(3)判断符号：根据已知条件和前面的假设Δx0来判断Δy的符号，有时可以进行分类讨论；(4)下结论：根据定义写出结论．用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝x＋4x＋3在(－3，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋4x2＋3－x1＋4x1＋3＝－x2－x1x2＋3x1＋3.因为x1x2，所以－(x2－x1)＝－Δx0，由x1，x2∈(－3，＋∞)，得x1－3，x2－3，即x1＋30，x2＋30，所以Δy0，所以f(x)＝x＋4x＋3在(－3，＋∞)上是减函数.2求函数的单调区间类型写出下列函数的单调区间．(1)y＝x2－2x；(2)y＝3x；(3)y＝|x＋2|＋|x－1|；(4)y＝2x－4.【解】(1)y＝x2－2x的定义域为R，增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．(2)y＝3x的定义域为{x|x≠0}，减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(3)y＝|x＋2|＋|x－1|＝－2x－1，x＜－2，3，－2≤x≤1，2x＋1，x＞1，函数的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，－2)．(4)y＝2x－4的定义域为[2，＋∞)．增区间为[2，＋∞)．【知识点拨】(1)并不是所有函数都具有单调性，若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．(2)一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而常用“和”来表示，如函数y＝1x的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这样的写法是错误的，应为(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)判断函数单调性的方法①定义法．这是证明或判定函数单调性的常用方法．②图象法．根据函数图象的升、降情况进行判断．③在解答选择题或填空题时，也可用到以下结论：1)函数y＝f(x)与y＝－f(x)单调性相反；2)若函数f(x)恒正或恒负时，函数y＝1fx与y＝f(x)单调性相反；3)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．设函数f(x)＝x2＋bx＋c－4≤x0，－x＋3x≥0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．解：(1)∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，∴16－4b＋c＝3,4－2b＋c＝－1，解得：b＝4，c＝3.∴f(x)＝x2＋4x＋3，－4≤x0，－x＋3，x≥0.(2)图象见下图所示．由图象可知：函数的定义域：[－4，＋∞)，值域：(－∞，3]，单调增区间：(－2,0)，单调减区间：(－4，－2)，(0，＋∞).3单调性的应用类型(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a＞－14B．a≥－14C．－14≤a＜0D．－14≤a≤0(2)已知函数f(x)＝－x2－ax－5，x≤1，ax，x＞1在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2,0)C．[－3,0)D．[－3，－2](3)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)(4)函数y＝2x－1在区间[2,6]上的值域为________．【解析】(1)∵f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，∴a＜0，－22a≥4，∴－14≤a＜0，当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)上是单调递增的，∴－14≤a≤0.故选D．(2)由题可得－a2≥1，a＜0，－1－a－5≤a，∴a≤－2，a＜0，a≥－3，∴－3≤a≤－2.故选D．(3)由题可得2m＞－m＋9，∴3m＞9，∴m＞3，故选C．(4)y＝2x－1在[2,6]上是减函数，∴当x＝2时，ymax＝2，当x＝6时，ymin＝25，∴函数y＝2x－1的值域为25，2.【答案】(1)D(2)D(3)C(4)25，2【知识点拨】(1)函数单调性定义具有“双向性”，即可以利用定义判断证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．已知f(x)＝f(4－x)，x∈R，当x2时，f(x)为增函数，设a＝f(1)，b＝f(4)，c＝f(－2)，试确定a，b，c的大小关系．解：由f(x)＝f(4－x)，可得f(1)＝f(4－1)＝f(3)，f(－2)＝f(4＋2)＝f(6)．又∵y＝f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴f(6)f(4)f(3)，即cba.已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)f(1－3x)，求x的取值范围．解：由条件可知－1≤x－1≤1，－1≤1－3x≤1，x－11－3x，解得0≤x12，∴x的取值范围是x0≤x12.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一判断函数的单调性1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝|x|解析：f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数，f(x)＝x2－3x在0，32上是减函数，在32，＋∞上是增函数；f(x)＝1x＋1在(0，＋∞)上是减函数；f(x)＝|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选D．答案：D知识点二利用单调性求最值2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，当x＝0时，y＝3.∴m的取值范围为1≤m≤2，故选C．答案：C知识点三单调性的定义3．下列命题正确的是()A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在无穷多x1，x2∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1∪I2上就一定是减函数D．若函数f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，则x1＜x2解析：若任意x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数，A，B，C错误；如y＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，故选D．答案：D知识点四单调性的综合应用4．如图，已知函数y＝f(x)的图象，则函数的单调减区间为________．解析：从图象上可以看出y＝f(x)在－∞，－32，[0，＋∞)分别为单调递减，∴其递减区间为－∞，－32，[0，＋∞)．答案：－∞，－32，[0，＋∞)5．已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值．解：(1)证明：设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1a－1x1－1a－1x2＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2，∵0x1x2，∴x1·x20，x1－x20，∴f(x1)－f(x2)0.即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f(x)在12，2上的值域是12，2，由(1)可知f(x)在(0，＋∞)是增函数，∴f12＝12，即1a－2＝12，∴a＝25.