2020年高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数 第2课时 映射与函数课件 新人教B版必修1

第二章函数2.1函数2.1.1函数第二课时映射与函数自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．2．通过简单的对应图示了解一一映射的概念.1．映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的__________元素x，在B中__________________元素y与x对应，则称f是_________________________．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作_____.于是y＝fx中x称作y的______．映射f也可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的______，通常记作_____．集合A到集合B的映射fxf(A)任意一个有一个且仅有一个象原象定义域值域2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的__________元素，在集合A中都__________________，这时称这两个集合的元素之间存在__________关系，并称这个映射为从集合A到集合B的一一映射．任意一个有且只有一个原象一一对应1．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是()A．f：x→x2－xB．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→x2＋1D．f：x→x2－1解析：A中，x＝2时，22－2＝2∉B；B中，x＝1时，x＋(x－1)2＝1∉B；C中，x＝1时，x2＋1＝2∉B，故选D．答案：D2．在映射f：A→B的作用下A中的元素(x，y)与B中的元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中的元素是()A．(－1,2)B．(0,3)C．(1,2)D．(－1,3)解析：由题可知x－1＝0，3－y＝1，∴x＝1，y＝2.所以与B中元素(0,1)对应的A中的元素是(1,2)，故选C．答案：C3．在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是()A．集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个B．集合A中的某一个元素a的象可能不止一个C．集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同D．集合B中的两个不同元素的原象可能相同答案：A典例精析规律总结课堂互动探究1映射的判定类型(1)下列对应法则f为A到B的映射的是()A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0(2)已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素有()A．4个B．5个C．6个D．7个【解析】(1)A选项中，0没有与之对应的元素，不是映射；B选项中，0没有与之对应的元素，不是映射；C选项中，负整数没有与之对应的元素，不是映射；D选项符合映射的定义，故选D．(2)a＝－3或a＝3时，|a|＝3；a＝－2或a＝2时，|a|＝2；a＝1或a＝－1时|a|＝1，当a＝4时，|a|＝4，所以B中有4个元素，故选A．【答案】(1)D(2)A【知识点拨】(1)根据映射定义可知，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.(2)一一映射的两个特点①对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象；②集合B中的每一个元素都有原象．即对应形式只有“一对一”，A，B中都没有剩余元素．(3)函数是数集到数集的映射，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．函数的特殊在于A、B都是非空的数集，若A或B为空集，则确定A到B的对应就不是映射，当然也构不成函数．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N*，f：x→(x－1)2；(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，f：三角形的内切圆；(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝1x.解：(1)取x＝1∈A，则(x－1)2＝0∉B，即A中的元素1在B中没有象，所以(1)不是函数，也不是映射．(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的映射，也是A到B的函数．(4)取x＝0，y＝10没有意义，即A中元素0在B中没有象，所以(4)既不是函数，也不是映射.2象与原象类型(1)已知在映射f下，(x，y)的象是(x＋y，x－y)，则元素(3,1)的原象为()A．(1,2)B．(2,1)C．(－1,2)D．(－2，－1)(2)已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为()A．18B．30C．272D．28【解析】(1)由题可得x＋y＝3，x－y＝1，∴x＝2，y＝1，即(3,1)的原象为(2,1)，故选B．(2)由图可得4＝6a＋b，10＝9a＋b，∴a＝2，b＝－8.∴f：x→y＝2x－8，当x＝19时，y＝2×19－8＝30，故选B．【答案】(1)B(2)B已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素2的象和B中元素32，54的原象．解：把x＝2代入对应关系，得其象为(2＋1,3)．由x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2的象为(2＋1,3)，32，54的原象为12.3映射的个数类型已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．【分析】可根据映射定义及限制条件分情况列举．【解】①当A中三个元素对应B中一个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有1个，它是f(a)＝0，f(b)＝0，f(c)＝0.②当A中三个元素对应B中两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，它们分别是f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1；f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1；f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.③当A中的三个元素与B中三个元素对应时，有2个映射f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0.综上，满足条件的映射有7个．集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，从A到B可以建立多少种不同的映射？其中集合B中每一个元素都有原象的映射有多少个？解：由映射定义，列举出所有对应图．从图中可以看出从A到B可以建立4种不同的映射，如图所示，其中集合B中每一个元素都有原象的映射有2个．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一映射的判定1．下列对应是集合A到集合B的映射的是()A．A＝N＋，B＝N＋，f：x→|x－3|B．A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的三角形}，f：作圆的内接三角形C．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，f：x→y＝12xD．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方解析：A中当x＝3时，|x－3|＝0∉N＋；B中圆的内接三角形有无数个；D中“1”对应－1,1，不唯一对应；C中是集合A到集合B的映射．答案：C知识点二象与原象2．已知点C(x，y)在映射f下的象为3x＋y2，－x＋3y2，则点(2,0)在f作用下的原象是()A．(0,2)B．(2,0)C．(－3，1)D．(3，1)答案：D3．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B可能是()A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅或{2}解析：1的原象为1，－1,2的原象为2或－2，若1∈A中，则A∩B＝{1}，若1∉A中，则A∩B＝∅，故选B．答案：B知识点三映射与函数4．根据下列所给的对应法则，回答问题．①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；③A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述三个对应法则中，是映射的是_____，是函数的是____．答案：①②①知识点四映射的个数5．已知A＝{1,2}，B＝{4,5,6}，映射f：A→B满足1是4的一个原象，则符合条件的映射的个数为________．解析：由题可知符合条件的映射有共有3个．答案：3