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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1直线与平面垂直的判定登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理．3．理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．学习目标‖自主导学‖预习课本P64～P66，思考并完成以下问题．知识点一|直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的1__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法2________任意一条l⊥α有关概念直线l叫做平面α的3______，平面α叫做直线l的4______．它们唯一的公共点P叫做5_______图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直垂线垂面垂足[思考探究]………………|辨别正误|1．直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．2．若a⊂α，b⊥α，则b⊥a，对吗？[提示]正确，直线与平面垂直的定义既可以看作判定定理，又可以作为性质定理．知识点二|直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的6_______________都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，7____________⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b＝P[思考探究]………………|辨别正误|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()×(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.()√×2．线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？[提示]用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．知识点三|直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α8_____，但不和平面α9_____，图中10__________斜足斜线和平面的11_____，图中12______射影过斜线上斜足以外的一点向平面引13_____，过14_______和15______的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为16______相交垂直直线PA交点点A垂线斜足垂足AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是17_____；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是18________取值范围,[0°，90°]直角0°的角[思考探究]………………|辨别正误|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°.()√(2)若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.()√2．若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？[提示]不一定．若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一直线和平面垂直的定义【例1】直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α平行B．l和平面α垂直C．l在平面α内D．不能确定[解析]如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能．故正确答案为D.[答案]D1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.|方法总结|1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．答案：①③④题型二直线与平面垂直的判定定理考向1直线与平面垂直的判定定理【例2】如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC.考向2线面垂直的应用【例3】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)[解析]如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)[答案]A1C1⊥B1C1证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.|方法总结|2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.题型三直线与平面所成角【例4】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．[解]取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为23.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．|方法总结|3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．在Rt△SOA中，∵AO＝23×32a＝33a，∴cos∠SAO＝AOSA＝33a2a＝36，即侧棱与底面所成角的余弦值为36.知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．三种方法：直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．三种解题方向：求线面角的三种方法：(1)直接法[一作(或找)二证(或说)三计算]；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．「自测检评」1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.3．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°4．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：连接AC，BD，则AC与BD交于点O.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，又ABCD为平行四边形，∴ABCD为菱形．答案：菱形5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.