搜索
第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1．3空间中直线与平面之间的位置关系2．1．4平面与平面之间的位置关系登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．学习目标‖自主导学‖预习课本P48～P50，思考并完成以下问题．知识点一|直线与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内1______________2______有无数个公共点a⊂α直线与平面相交3__________________4_________直线与平面平行5_____________6________有且只有一个公共点a∩α＝A没有公共点a∥α2.直线与平面的位置关系的分类(1)按公共点个数分类有无公共点直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行[思考探究]………………|辨别正误|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．()×(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行．()×(3)如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b.()(4)如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.(√)(4)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()××2．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？[提示]不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行．知识点二|两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行7_______没有公共点平面α与平面β相交8_________有一条公共直线α∥βα∩β＝l[思考探究]………………|辨别正误|1．平面平行有传递性吗？[提示]有．若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ.2．分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？[提示]分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一直线与平面的位置关系【例1】下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A．0B．2C．1D．3[解析]如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确．故答案为C.[答案]C1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.|方法总结|1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：选D直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故选D.题型二平面与平面的位置关系【例2】以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．A．③④B．②③④C．②④D．①④[解析]当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．[答案]A1．判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断．2．反证法也用于相关问题的证明.|方法总结|2．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．题型三线面、面面交线问题【例3】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明]∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交.判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交.|方法总结|3．如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．两种分类：(1)按公共点的个数分类直线与平面平行直线与平面没有公共点直线与平面不平行直线与平面相交直线与平面有唯一公共点直线在平面内直线与平面有无数个公共点(2)按是否在平面内分类直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行2．两种方法：判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法．「自测检评」1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2．如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．答案：0或15．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②