2020届新高考数学艺考生总复习 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第5节 基本不等式课件

高考总复习艺考生山东版数学第5节基本不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)．2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养．2.均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养．3.基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题1．基本不等式：ab≤a＋b2.(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大)．几个重要的不等式1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2．ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．3.a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．4.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab＞0.()(3)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件．()(4)若a＞0，则a3＋1a2的最小值是2a.()(5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[小题查验]1．设ab0，下列不等式不正确的是()A．aba2＋b22B．aba＋b22C.2aba＋babD.ab2aba＋b解析：C[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab及ab0知，a2＋b22ab，aba＋b22，选项A、B正确.2aba＋b2ab2ab＝ab，选项D正确．故选C.]2．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4解析：C[当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.]3．在下列函数中，最小值是2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx0xπ2C．y＝x2＋3x2＋2D．y＝ex＋4ex－2解析：D[选项A中，x0时，y≥2，x0时，y≤－2；选项B中，cosx≠1，故最小值不等于2；选项C中，x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2，当x＝0时，ymin＝322，只有选项D符合题意．故选D.]4．(人教A版教材习题改编)设x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案：815．已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋2y的最小值是________________．解析：因为1x＋2y＝(2x＋y)(1x＋2y)＝4＋yx＋4xy≥4＋2yx·4xy＝8，当且仅当y＝12，x＝14时成立．答案：8考点一利用基本不等式求最值(多维探究)[命题点1]通过配凑法利用基本不等式[典例](1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．解析：x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．答案：23(2)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________．解析：y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．答案：23＋2[命题点2]通过常数代换法利用基本不等式[典例]若a0，b0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8B．6C．4D．2数学运算——基本不等式应用中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养．信息提取信息解读数学运算已知条件a0，b0，lga＋lgb＝lg(a＋b)由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1着眼点一(对数的运算性质)：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b.着眼点二(等式的恒等变形)：再由ab＝a＋b，得＋＝1.着眼点三(“1”代换)：a＋b＝(a＋b)＝2＋＋.着眼点四(基本不等式的应用)：2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立求则a＋b的最小值利用常数“1”代换的方法，将a＋b的变形为a＋b＝(a＋b)＝2＋＋，在利用基本不等式求其最小值[解析]C[由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a＋1b＝1，所以a＋b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.]求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．[跟踪训练]1．(2019·濮阳市质检)若正实数x，y满足4x＋y＝xy，则x＋4y取最小值时，y的值为()A．1B．2C．3D．5解析：D[(1)∵x＞0，y＞0且4x＋y＝xy，∴1x＋4y＝1，∴x＋4y＝(x＋4y)1x＋4y＝17＋4xy＋4yx≥25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故选D.]2．函数y＝loga(x＋3)－1(a0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn0，则1m＋1n的最小值为________．解析：当x＝－2时，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定点A的坐标为(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋n2＝1，1m＋1nm＋n2＝32＋n2m＋mn≥32＋2n2m·mn＝3＋222，当且仅当n2m＝mn，即n＝2m＝2(2－1)时取等号，因此1m＋1n的最小值是3＋222.答案：3＋222考点二均值不等式的实际应用(师生共研)[典例]某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[解析]B[若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号．故选B.]在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值．[跟踪训练]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8考点三基本不等式的综合应用(师生共研)[典例](1)若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式：①a2＋b2≥2；②1a＋1b≥2；③ab≤1；④a＋b≤2.恒成立的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．[解析](1)因为a0，b0，a＋b＝2，所以由a2＋b22≥a＋b2＝1≥ab≥21a＋1b得a2＋b2≥2;1a＋1b≥2；ab≤1；即①②③均正确；不妨令a＝b＝1，则a＋b＝22，故④错误；综上所述，恒成立的是①②③.故选B.(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.[答案](1)B(2)－83，＋∞综合应用基本不等式的重点题型与求解策略题型求解策略判断或证明不等式或比较大小对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解[跟踪训练]1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4解析：C[当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.]2．若对于任意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥15B．a＞15C．a＜15D．a≤15解析：A[由x＞0，得xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥15，故选A.]