2020届新高考数学艺考生总复习 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第4节 一元二次不等式及其解法

高考总复习艺考生山东版数学第4节一元二次不等式及其解法第一章集合、常用逻辑用语、不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养．2.与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养．3.一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题1．一元二次不等式的图象解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)．(2)计算相应的判别式.(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系1.x－ax－b＞0等价于(x－a)(x－b)＞0.2.x－ax－b＜0等价于(x－a)(x－b)＜0.3.x－ax－b≥0等价于x－ax－b≥0，x－b≠0.4.x－ax－b≤0等价于x－ax－b≤0，x－b≠0.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√[小题查验]1．函数f(x)＝1ln－x2＋4x－3的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1,2)∪(2,3)解析：D[由题意知－x2＋4x－30，－x2＋4x－3≠1，即1x3，x≠2，故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．]2．不等式x－2x＋1≤0的解集是()A．(－∞，－1)∪(－1,2]B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D．(－1,2]解析：D[x－2x＋1≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]，故选D.]3．若不等式ax2＋bx－20的解集为x|－2x14，则ab等于()A．－28B．－26C．28D．26解析：C[由已知得－2＋14＝－ba－2×14＝－2a，∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.]4．(人教A版教材例题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．答案：∅5．已知不等式x2－2x＋k2－10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)0，即k22，∴k2或k－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点一一元二次不等式的解法(自主练透)[题组集训]解关于x的不等式：(1)x2＋3x＋4＜0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)ax2－(a＋1)x＋10.解：(1)由Δ＝9－16＝－7＜0，故不等式的解集为∅.(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥43，故不等式的解集为x|x≤－2或x≥43.(3)原不等式可化为(x－1)(ax－1)0，∴①当a＝0时，可解得x1，②当a0时，不等式可化为(x－1)x－1a0，∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)20，解集为∅；当0a1时，1a1，不等式的解集为x|1x1a；当a1时，1a1，不等式的解集为x|1ax1；当a0时，不等式可化为(x－1)x－1a0，∴不等式的解集为x|x1或x1a综上，可知，当a0时，不等式的解集为x|x1或x1a；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，不等式的解集为x|1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x|1ax1.1．解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提醒：当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．考点二与一元二次不等式有关的恒成立问题(多维探究)直观想象——一元二次不等式恒成立问题中的核心素养直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．解决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起，做到相互转化，借助于二次函数的图象——抛物线进行求解．[命题角度1]在实数R上的恒成立1．若一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0]B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0)解析：D[2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，因2kx2＋kx－38＜0是一元二次不等式所以k≠0.则必有2k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解得－3＜k＜0.]2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.[破题关键点]函数f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．方法一：构造函数g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]，分m＞0与m＜0两种情况判断g(x)在[1,3]上单调性，由g(x)max＜0求出m的取值范围；方法二：由于x2－x＋1＝x－122＋34＞0，所以将参数m分离出来，即m＜6x2－x＋1，转化为求函数y＝6x2－x＋1在[1,3]上的最小值．解析：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m|0＜m＜67或m＜0.法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是m|0＜m＜67或m＜0.答案：m|0＜m＜67或m＜0[命题角度3]给定参数范围的恒成立问题3．已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)解析：C[把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组x2－5x＋6＞0，x2－3x＋2＞0，得x＜1或x＞3.]恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．(2)一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．(3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．考点三一元二次不等式的实际应用(师生共研)[典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？[思维导引](1)由年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组求x的取值范围．[解析](1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－12－10×100000，0x1，即－6000x2＋2000x0，0x1，解得0x13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．求解不等式应用题的四个步骤[跟踪训练]某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0x10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(