2020届新高考数学艺考生总复习 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第3节 不等关系与不等式课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节不等关系与不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用1.用不等式(组)表示不等关系，达成数学建模素养2.比较两个数(式)的大小，发展逻辑推理和数学运算素养3.不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，高考中常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新概念(定义)比较两个数的大小，题型多以选择题为主，题目难度不会太大1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；(2)作商法ab＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.2．不等式的性质性质性质内容注意对称性a＞b⇔b＜a⇔传递性a＞b，b＞c⇒a＞c⇒可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c⇔可乘性abc0⇒acbc；abc0⇒acbcc的符号同向可加性abcd⇒D⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒ac＞bd⇒可乘方性a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)a，b同为正数可开方性a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)a，b同为正数不等式的一些常用性质1．倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)0axb或axb0⇒1b1x1a2．有关分数的性质若ab0，m0，则(1)真分数的性质bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．(2)假分数的性质aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(3)同向不等式具有可加和可乘性．()(4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc.()(5)若ab＞0，则a＞b⇔1a＜1b.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√[小题查验]1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析：A[M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋340，所以MN.]2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()A．v40km/hB．v40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h解析：D[由汽车的速度v不超过40km/h，即小于等于40km/h.即v≤40km/h，故选D.]3．已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定能成立的是()A.cabaB.b－ac0C.b2ca2cD.a－cac0解析：C[因为cba，且ac0，所以c0，a0，所以caba，b－ac0，a－cac0，但b2与a2的关系不确定，故b2ca2c不一定成立．]4．(教材改编)用不等号“＞”或“＜”填空．(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b；(4)a＞b＞0⇒1a2________1b2.答案：(1)＞(2)＜(3)＞(4)＜5．已知ab0，且cd0，则ad与bc的大小关系是________．解析：∵ab0，cd0，∴adbc0，∴adbc.答案：adbc考点一用不等式(组)表示不等关系(自主练透)[题组集训]1．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物种类维生素类型甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________．解析：依题意，有x＋y≤100，600x＋700y≥56000，800x＋400y≥62000，x≥0，y≥0，整理化简得x＋y≤100，6x＋7y≥560，2x＋y≥155，x≥0，y≥0.答案：x＋y≤1006x＋7y≥5602x＋y≥155x≥0，y≥02．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为________．解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少x－101×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.即x2－28x＋190≤0，同时10≤x≤20.答案：x2－28x＋190≤0(10≤x≤20)用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略(1)常见类型①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系．(2)解题策略①分析题目中有哪些未知量；②选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量；③根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：(1)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解．(2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表：文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言≥≤考点二比较两个数(式)的大小(师生共研)[典例](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定(2)已知a≠1且a∈R，试比较11－a与1＋a的大小．解析：(1)B[因为M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又a1，a2∈(0,1)，所以a1－10，a2－10，所以(a1－1)(a2－1)0，所以MN.故选B.](2)∵11－a－(1＋a)＝a21－a，①当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a.②当a1，且a≠0时，a21－a0，∴11－a1＋a.③当a1时，a21－a0，∴11－a1＋a.[互动探究]若将本例(1)中a1，a2∈(0,1)这个条件去掉，又将如何判断M，N的关系？解：作差，即M－N＝(a1－1)(a2－1)．①当a1，a2∈(－∞，1)时，(a1－1)(a2－1)0，即MN；②当a1，a2∈(1，＋∞)时，(a1－1)(a2－1)0，即MN；③当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，(a1－1)(a2－1)≤0，即M≤N.综上，当a1，a2∈(－∞，1)或a1，a2∈(1，＋∞)时，MN，当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，M≤N.比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小．[跟踪训练]已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b解析：A[∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.∵(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a.]考点三不等式的性质及应用(多维探究)逻辑推理——不等式的性质及应用中的核心素养逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．应用不等式的性质可以判断或证明不等式是否成立，进一步增强逻辑推理的核心素养．[命题角度1]判断或证明不等式是否成立1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac＞bc，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则1a＞1bD．若a2＞b2且ab＞0，则1a＜1b解析：C[当c＝0时，可知A不正确；当c＜0时，可知B不正确；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以1a＞1b成立，C正确；当a＜0且b＜0时，可知D不正确．]2．(2019·全国Ⅲ卷)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|解析：C[若a＞b，则a3＞b3，即a3－b3＞0.](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．[命题角度2]求某些代数式的取值范围3．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[破题关键点]一是将f(－2)用f(－1)和f(1)表示出来；二是求f(－2)＝4a－2b在1≤f－1≤2，2≤f1≤4，即在1≤a－b≤22≤a＋b≤4条件下的最值．解析：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4n－m＝－2，解得m＝3n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二：由f－1＝a－bf1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.答案：[5,10]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．