2020届新高考数学艺考生总复习 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第2节 充分条件与必要条件、量

高考总复习艺考生山东版数学第2节充分条件与必要条件、量词第一章集合、常用逻辑用语、不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1.命题的四种形式及其关系，形成和发展学生的数学抽象素养．2.充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养．四种命题间的关系、四种命题的真假判断及充要条件的判断等是高考的热点，全称命题、特称命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定是高考的热点，3.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．4.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定3.全称命题、特称命题的真假判断，达成直观想象和逻辑推理的素养．4.含有一个量词的命题的否定，形成和发展数学抽象的素养题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查考生的逻辑推理等能力1．充分条件、必要条件与充要条件的概念p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒qp是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()(2)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.()(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．()(4)“对顶角相等”是全称命题．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√[小题查验]1．(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为()A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n解析：C[特称命题的否定为全称命题，故选C.]2．(2019·金考卷押题)已知命题p：∃x0∈R，ex0x20，则p为()A．∃x0∈R，ex0≥x20B．∀x∈R，exx2C．∀x∈R，ex≥x2D．∀x∈R，exx2解析：C[命题p是一个特称命题，故其否定是一个全称命题．p为∀x∈R，ex≥x2，故选C.]3．(2019·唐山市模拟)已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：C[由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3＜b3⇔a＜b⇔2a＜2b，即“a3＜b3”是“2a＜2b”的充要条件．]4．[人教A版教材P12T2(2)改编]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案：充分不必要5．(2019·湖北八校联考)命题p的否定是“对所有正数x，xx＋1”，则命题p可写为_____________________________________．解析：因为p是p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1考点一充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1．(2019·乌鲁木齐模拟)设p：0＜x＜1，q：2x≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[q：2x≥1，解得x≥0.又p：0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．(2019·晋城一模)设a∈R，则“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数y＝loga(x－1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a＞1，因此“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：B[由面面平行的判定定理知α内有两条相交直线与β平行，则α∥β，反之也成立．][命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)[典例]已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________________．逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．具体见下表：解析：由(x－a)(x－a－1)0，得xa＋1或xa，由题意，得{x|－2≤x≤10}{x|xa＋1，或xa}，所以a＋1－2或a10，即a－3或a10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2x10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______．解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2x10}{x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．[跟踪训练]已知条件p：14＜2x＜16，条件q：(x＋2)·(x＋a)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为()A．[－4，＋∞)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4]D．(4，＋∞)解析：B[由14＜2x＜16，得－2＜x＜4，即p：－2＜x＜4.方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2.①若－a＞－2，即a＜2，则条件q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－2＜x＜－a，由p是q的充分不必要条件可得－a＞4，则a＜－4；②若－a＝－2，即a＝2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0无解，不符合题意；③若－a＜－2，即a＞2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－a＜x＜－2，不符合题意．综上，可得a的取值范围为(－∞，－4)，故选B.]考点二全称命题、特称命题[命题角度1]全称命题、特称命题的真假判断(自主练透)1．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－10C．∃x0∈R，lgx01D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2解析：D[A显然正确；由指数函数的性质知2x－10恒成立，所以B正确；当0x10时，lgx1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所以D错误．]2．已知a0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是()A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m)B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m)C．∀x∈R，f(x)≤f(m)D．∀x∈R，f(x)≥f(m)解析：D[因为a0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－b2a处取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．故选D.]3．下列命题中，真命题是()A．∃x0∈0，π2，sinx0＋cosx0≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x22x＋1C．∃x0∈R，x20＋x0＝－1D．∀x∈π2，π，tanxsinx解析：B[对于选项A，sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x3时，(x－1)2－20，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝x＋122＋340，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈π2，π时，tanx0，sinx0，命题显然不成立.]全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假特称命题假所有对象使命题假否定为真提醒：不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．[命题角度2]含有一个量词的命题的否定(自主练透)1．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2＞0B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2＜0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0解析：D[根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.]2．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：C[命题p：所有指数函数都是单调函数，则p：存在一个指数函数，它不是单调函数．选C.]3．(2019·咸阳一模)已知命题p：“存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x01”，则下列说法正确的是()解析：C[因为特称命题的否定是全称命题，所以p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．]4．若命题p：∀x∈－π2，π2，tanx＞sinx，则命题p为()A．∃x0∈－π2，π2，tanx0≥sinx0B．∃x0∈－π2，π2，tanx0＞sinx0C．∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0D．∃x0∈－∞，－π2∪π2，＋∞，tanx0＞sinx0解析：C[“∀x”的否定为“∃x0”，“＞”的否定为“≤”，所以命题p为∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0.]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．[命题角度3]参数的取值范围问题(师生共研)1．(2019·武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－3,1)D．(1，＋∞)解析：A[依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1，故选A.]2．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是____________．解析：“对∀x