2020届新高考数学艺考生总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数

高考总复习艺考生山东版数学第4节数系的扩充与复数的引入第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入最新考纲核心素养考情聚焦1.通过方程的解，认识复数．2.理解复数的代数表示法及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义1.复数的有关概念，达成数学抽象和数学运算素养．2.复数的几何意义，提升直观想象和数学运算素养．3.复数的四则运算，增强数学运算素养复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一，重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力，题型一般为选择题，难度较小，属于低档题1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ→对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.1.(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)任何数的平方都不小于0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)两个虚数的和还是虚数．()(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．()(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×[小题查验]1．(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：D[z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝1＋i.故选D.]2．(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：C[由题意：z＝－1－2i.故选C.]3．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：B[当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.]4．(人教A版教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则点D对应的复数为________.答案：3＋5i5．若复数z＝2－i，则z－＋10z＝________.解析：∵z＝2－i，∴z－＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.答案：6＋3i考点一复数的有关概念(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅰ卷)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2解析：C[因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝0＋12＝1，故选C.]2．(2016·全国Ⅱ卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z－＝()A．－1＋2iB．1－2iC．3＋2iD．3－2i解析：C[∵复数z满足z＋i＝3－i，∴z＝3－2i，∴z－＝3＋2i，故选C.]3．(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，∴a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]4．(2016·全国Ⅲ卷)若z＝4＋3i，则z－|z|＝()A．1B．－1C.45＋35iD.45－35i解析：D[z＝4＋3i，则z－|z|＝4－3i|4＋3i|＝4－3i5＝45－35i.故选D.]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．考点二复数的几何意义(自主练透)[题组集训]1．(2016·全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：A[由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得m＋30，m－10，解得－3m1，故选A.]2．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：C[|z－i|＝1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1.选C.]3．复数z＝i－2－i2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：A[因为z＝i－2－i2＝i4＋4i－1＝i3＋4i＝i3－4i25＝425＋325i，所以z在复平面内所对应的点425，325在第一象限，故选A.]4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.解析：由条件得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，根据OC→＝λOA→＋μOB→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.答案：1对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算(自主练透)数学运算——复代数运算中的核心素养在复数的代数概念下，准确理解其运算法则至关重要．在正确理解这些运算法则的基础上，准确运用其进行计算，便可迅速得到正确的数学结果．[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解析：D[∵1＋2i1－2i＝1＋2i25＝－3＋4i5，∴选D.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则z＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i解析：D[z＝i(2＋i)＝2i－1＝－1＋2i，∴z＝－1－2i.]3．(2016·全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则4iz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：C[4izz－－1＝4i1＋2i1－2i－1＝i.]4．已知复数z＝3＋i1－3i2，z－是z的共轭复数，则z·z－＝______.解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，故z－＝－34－14i，∴z·z－＝－34＋14i－34－14i＝316＋116＝14.答案：14复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[提醒]在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.