2020届新高考数学艺考生总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1节 平面向量的概念及

高考总复习艺考生山东版数学第1节平面向量的概念及线性运算第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入最新考纲核心素养考情聚焦1.通过对力、速度、位移等的分析，了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2.理解向量的几何表示和基本要素．3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算法则，理解其几何意义．4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义1.平面向量的基本概念，发展数学抽象素养．2.平面向量的线性运算，增强直观想象和数学运算素养．3.向量共线定理及其应用，提升数学抽象和数学运算素养平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点，尤其是向量的线性运算出现的频率较高．有时与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题．题型以选择题、填空题为主，属中低档题1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算叫做a与b的和(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律λ(μa)＝(λμ)a；(2)分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．()(5)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.()(6)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)√[小题查验]1．如图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：C[由题图可得a－b＝BA→＝e1－3e2.]2．若|AB→|＝|AD→|，且BA→＝CD→，则四边形ABCD的形状为()A．不是菱形的平行四边形B．不是正方形的矩形C．菱形D．等腰梯形解析：C[因为BA→＝CD→，所以四边形ABCD为平行四边形．又因为|AB→|＝|AD→|，所以四边形ABCD为菱形．]3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析：A[如图所示，可知AD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.]4．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝________.(2)NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝________.答案：(1)AB→(2)05．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－13考点一平面向量的基本概念(自主练透)数学抽象——平面向量有关概念中的核心素养通过力、速度、位移等物理概念获得向量有关概念，让学生学会从具体情境中抽象出数学概念、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯．[题组集训]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：C[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量．]2．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.故“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③对于向量的概念应注意以下几条(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．考点二平面向量的线性运算(课堂共研)[典例](1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→[解析]A[EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→，故选A.](2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[解析]DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案]12[互动探究]若典例(2)条件变为：若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.解析：∵CD→＝CA→＋AD→，CD→＝CB→＋BD→，∴2CD→＝CA→＋CB→＋AD→＋BD→.又∵AD→＝2DB→，∴2CD→＝CA→＋CB→＋13AB→＝CA→＋CB→＋13(CB→－CA→)＝23CA→＋43CB→.∴CD→＝13CA→＋23CB→，即λ＝23.答案：23向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[跟踪训练]1．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：B[由MA→＋MB→＋MC→＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴AB→＋AC→＝2AE→＝m·AM→＝2m3·AE→，∴2m3＝2，∴m＝3.]2．(2019·乐山市一模)在三角形ABC中，点E，F满足AE→＝12AB→，CF→＝2FA→，若EF→＝xAB→＋yAC→，则x＋y＝__________________.解析：因为点E，F满足AE→＝12AB→，CF→＝2FA→，所以EF→＝xAB→＋yAC→＝EA→＋AF→＝12BA→＋13AC→＝－12AB→＋13AC→，所以x＝－12，y＝13，则x＋y＝－12＋13＝－16.答案：－16考点三向量共线定理及其应用(子母变式)[母题]设向量e1和e2不共线．若AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，则实数k的值为________.[解析]∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线，∴AC→∥AF→，从而存在实数λ，使得AC→＝λAF→.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴3＝3λ，－2＝－λk，因此k＝2.[答案]2[子题1]在本例条件下，若ke1＋e2与e1＋ke2共线．则实数k的值为________.解析：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.答案：±1[子题2]在本例条件下，如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．证明：∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．