2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换课件

高考总复习艺考生山东版数学第5节三角恒等变换第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)1.三角函数式的化简，发展数学抽象和数学运算素养．2.三角函数式的求值，提升数学运算素养．3.三角变换的简单应用，增强数学抽象和数学运算素养本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，考查三角函数关系式的化简与求值，利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，考查题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．常与三角函数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查1．两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cossinβ；(Sα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(Cα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(Tα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.(Tα－β)2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan2α＝2tanα1－tan2α.(T2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).(2)升幂公式1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2.(3)降幂公式sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.5．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝π4＋α－π4＝α－π3＋π3.(2)互余与互补关系例如，π4＋α＋3π4－α＝π，π3＋α＋π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α；1±sinα＝sinα2±cosα22；tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()(4)当α是第一象限角时，sinα2＝1－cosα2.()(5)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×[小题查验]1．(2019·全国Ⅰ卷)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3.]2．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45解析：D[cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.]3．已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝()A.118B.1718C.89D.29解析：B[由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718，故选B.]4．(人教A版教材例题改编)已知sinα＝－35，α是第四象限角，则cosα＋π4＝________.答案：72105．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为____________.解析：f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝2×1－cos2x2＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－π4)＋1，由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ，k∈Z.所以所求区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)．答案：－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)考点一三角函数式的化简(自主练透)[题组集训]1．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.2．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.解析：原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.答案：23．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为________．解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案：12三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．考点二三角函数式的求值(多维探究)数学运算——三角函数求值中的核心素养数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，力在培养学生的准确、快速的运算能力．[命题角度1]给角求值1．(2019·贵阳市监测考试)sin15°＋cos15°的值为()A.62B．－62C.22D．－22解析：A[sin15°＋cos15°＝2sin60°＝62.故选A.]2．sin415°－cos415°＝()A.12B．－12C.32D．－32解析：D[sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－32.故选D.][命题角度2]给值求值3．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：B[∵α∈0，π2，由2sin2α＝cos2α＋1得：4sinαcosα＝2cos2α，∴2sinα＝cosα，又∵2sinα＝1－sin2α，∴5sin2α＝1，∴sin2α＝15，∴sinα＝55.]4．(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)__________.解析：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，∴sinα＝12，cosβ＝12因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12×12－cos2α＝14－1＋sin2α＝14－1＋14＝－12.答案：－12[命题角度3]给值求角5．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：C[∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.∴β＝π4.]6．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点三三角变换的简单应用(师生共研)[典例]已知函数f(x)＝23sinωx＋π6cosωx(0＜ω＜2)，且f(x)的图象过点5π12，32.(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期；(2)将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，已知ga2＝536，求cos2α－π3的值．[破题关键点]利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式就可以利用f(x)的图象过点5π12，32求出ω的值及函数f(x)的最小正周期，通过平移变换求出函数y＝g(x)的解析式，再由gα2＝536和倍角公式求出cos2α－π3的值．[解析](1)函数f(x)＝23sinωx＋π6cosωx＝23sinωx·32＋23cosωx·12cosωx＝32sin2ωx＋3·1＋cos2ωx2＝3sin2ωx＋π6＋32.∵f(x)的图象过点5π12，32，∴3sin2ω·5π12＋π6＋32＝32，∴2ω·5π12＋π6＝kπ，k∈Z，即ω＝6k－15.再结合0＜ω＜2，可得ω＝1，∴f(x)＝3sin2x＋π6＋32，故它的最小正周期为2π2＝π.(2)将y＝f(x)＝3sin2x＋π6＋32的图象向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)＝3sin2x－π6＋32的图象．已知gα2＝536＝3sinα－π6＋32，∴sinα－π6＝13，∴cos2α－π3＝1－2sin2α－π6＝79.解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式．变换