2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课件

高考总复习艺考生山东版数学第8节直线与圆锥曲线的位置关系第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养．2.根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点a＝0b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点Δ0两个不等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个切点a≠0Δ0无实数解无公共点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．1.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．2．中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k＝－b2x0a2y0.(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－b2a2[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．()(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()(4)直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y29＝1恒有两个公共点．()(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[小题查验]1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：A[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]3．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是()A.0，23B.－23，0C.－23，23D.－∞，－23∪23，＋∞解析：C[双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈－23，23.]4．(人教A版教材P80A组T8改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.解析：由题意可设直线l的方程为y＝m，代入x24－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝41＋m2＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.答案：45．椭圆x22＋y2＝1的弦被点12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________.解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式相减得x1＋x2x1－x22＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2＝－12，即直线AB的斜率为－12.∴直线AB的方程为y－12＝－12x－12，即2x＋4y－3＝0.答案：2x＋4y－3＝0考点一直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)[题组集训]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：C[结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，故选C.]2．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜ba解析：D[由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba.故选D.]3．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：B[∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴4m2＋n2＞2，∴m2＋n2＜4.∴m29＋n24＜m29＋4－m24＝1－536m2＜1，∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点有2个，故选B.]判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围．考点二根据直线与圆锥曲线的位置求参数(师生共研)[典例](1)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1解析：D[由y＝kx＋2，x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴1－4k2≠0Δ＝16k2－41－k2×－10＞0x1＋x2＝4k1－k2＞0x1x2＝10k2－1＞0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－153＜k＜－1.故选D.](2)(2019·沈阳市模拟)已知直线3x－y－3＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点(A在x轴上方)，与x轴交于F点，OF→＝λOA→＋μOB→，则λ－μ＝()A.12B．－12C.13D．－13解析：B[直线3x－y－3＝0过抛物线的焦点F(1,0)，把直线方程代入抛物线的方程y2＝4x，解得x＝3y＝23，或x＝13y＝233，不妨设A(3,23)、B13，－233.∵OF→＝λOA→＋μOB→，∴(1,0)＝(3λ，23λ)＋13μ，－233μ＝3λ＋13μ，23λ－233μ.∴3λ＋13μ＝1,23λ－233μ＝0，∴λ＝14，μ＝34，则λ－μ＝－12.故选B.]由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况．[跟踪训练]1．(2018·永州市三模)已知F为椭圆x24＋y23＝1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x＋my＋3＝0相切，则m的值为()A．±3B.3C．±3D．3解析：C[由题意可知：椭圆x24＋y23＝1的左焦点(－1,0)，设B(x,0)，由AF⊥AB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心Cx－12，0，半径为r＝x＋12.在△AOC中，由|AO|2＋|OC|2＝|AC|2＝r2，即(3)2＋x－122＝x＋122，解得x＝3，则C(1,0)，半径为2，由题意可知：圆心到直线x＋my＋3＝0距离d＝|1＋m×0＋3|1＋m2＝2，解得m＝±3.故选C.]2．已知直线y＝x＋m被椭圆4x2＋y2＝1截得的弦长为225，则m的值为________.解析：把直线y＝x＋m代入椭圆方程得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0，设该直线与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程5x2＋2mx＋m2－1＝0的两根，Δ＝4m2－20(m2－1)＝－16m2＋200，即m254.由韦达定理可得x1＋x2＝－2m5，x1·x2＝m2－15，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2·4m225－4m2－45＝225，所以m＝±1.答案：±1考点三弦长问题(师生共研)[典例](2019·贵阳市摸底)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．直观想象、逻辑推理、数学运算——直线与椭圆位置关系综合问题中的核心素养以学习过的直线与椭圆位置关系的相关知识为基础，借助直线、椭圆等平面图形的几何性质，通过逻辑推理将已知条件代数化，并通过消元等进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12ca＝12过椭圆右焦点F的弦AB斜率为0时，AB＝42a＝4着眼点1：求椭圆的方程：待定系数法，通过解方程求出a和b过椭圆右焦点F的弦AB与CD互相垂直，当直线AB斜率为0时，|AB|＝4，|AB|＋|CD|＝487分两种情况讨论：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0着眼点2：求直线AB的方程：待定系数法求出直线AB的斜率k，也就是利用弦长公式将|AB|＋|CD|＝487转化为关于k的方程[解析](1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝12k2＋13＋4k2.同理，|CD|＝121k2＋13＋4k2＝12k2＋13k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12k2＋13＋4k2＋12k2＋13k2＋4＝84k2＋123＋4k23k2＋4＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．[跟踪训练]已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：m