2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第7节 抛物线课件

高考总复习艺考生山东版数学第7节抛物线第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养．2.抛物线的标准方程与几何性质掌握与应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．3.直线与抛物线的位置关系的判断与应用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为中高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(5)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[小题查验]1．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：D[由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x.]2．(2019·南昌市一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10解析：A[F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，.不妨设P在第一象限，则P(4,4)，∴SPKF＝12×|FK|×|y0|＝12×2×4＝4.故选A.]3．(2019·西宁市模拟)已知点P是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，若|PF|＝5，则点P的横坐标为()A．1B．2C．3D．4解析：D[如图，抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.由|PF|＝5，得xP＋1＝5，则xP＝4.即点P的横坐标为4.故选D.]4．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析：由题可得：点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2＝4ax中解得：a＝1，∴y2＝4x.由抛物线方程可得：2p＝4，p＝2，p2＝1∴焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)5．(人教A版教材例题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案：y2＝－8x或x2＝－y考点一抛物线的标准方程与几何性质(自主练透)[题组集训]1．(2019·泉州市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝92xD．y2＝9x解析：B[如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a.由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，又2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1.因为BD∥FG，所以1p＝23，求得p＝32，因此抛物线方程为y2＝3x.故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：D[由椭圆x23p＋y2p＝1，知半焦距c＝3p－p＝2p，∴2p＝p2，∴p＝8.]3．(2017·高考全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线l：x＝－2，如图，M为FN的中点，故易知线段BM为梯形AFMC的中位线．∵|CN|＝2，|AF|＝4，∴|MB|＝3.又由定义|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝6.答案：61．求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．考点二抛物线的定义及其应用(多维探究)[命题角度1]到焦点与定点距离之和最小问题1．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小，则点P的坐标为________.直观想象、逻辑推理数学运算——抛物线的定义及其应用中的核心素养以抛物线的简单几何性质的相关知识为基础，借助抛物线及其他平面图形的几何性质和数量关系建立有关的方程及不等式，通过解方程式不等式求距离和最小值，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理和数学运算抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小根据抛物线的定义，|PF|等于点P到抛物线的准线为l的距离直观想象：画出符合题意的图形．逻辑推理：数形结合，利用抛物线的定义以及三角形三边关系定理，过点A作准线l的垂线，垂线与抛物线的交点即为点P.数学运算：点P的横坐标就是点A的横坐标，将其代入抛物线的方程即可求出点P的纵坐标解析：∵(－2)28×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.答案：－2，12与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[命题角度2]到点与准线的距离之和最小问题2．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.答案：17－1将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出”两点之间线段最短”，使问题得解．[命题角度3]到定直线的距离最小问题3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________.解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得y＝－x2，4x＋3y＋b＝0消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－43，所以切线方程为4x＋3y－43＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝8－435＝43.法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－43，所以m＝23，即切点T23，－49，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是43.答案：43到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之间的距离．[命题角度4]焦点弦中距离之和最小问题4．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：2在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最短．这是一个定值问题，需牢记．考点三直线与抛物线的位置关系(多维探究)[命题角度1]直线与抛物线的公共点(交点)问题1．(2018·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直