2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

高考总复习艺考生山东版数学第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1.直线与圆的位置关系判定，达成数学建模和数学抽象的素养．2.直线与圆相交、相切问题的研究，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养．3.圆与圆的位置关系的判定，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养本部分作为2020年高考的重点内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．题型以选择题、填空题为主，有时也以解答题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，解答时要正确利用图形及性质，合理转化1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由x－a2＋y－b2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数432101.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法：利用弦心距d，弦长一半12l及圆的半径r所构成的直角三角形来求，即r2＝d2＋12l2.(2)代数法：利用根与系数的关系来求，即|AB|＝1＋k2·|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].2．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.3．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()(6)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()解析：(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．(2)除外切外，还有可能内切．(3)两圆还可能内切或内含．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·西安市调研)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：C[由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34解析：D[∵A(－2，－3)关于y轴的对称点A′(2，－3)在反射光线上，圆心(－3,2)．设反射光线的斜率为k，则其方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1，由d＝r，得k＝－43或k＝－34.]3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：B[⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.∴|C1C2|＝13，∴|r1－r2|＝0＜|C1C2|＜r1＋r2＝4，∴两圆相交，有两条公切线．]4．(人教A版教材必修2P133A组第9题改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为______________________.解析：由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＋4y－12＝0得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.答案：x－y＋2＝05．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝22＝2，∴|AB|＝222－d2＝24－2＝22.答案：22考点一直线与圆的位置关系(自主练透)[题组集训]1．(2019·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：A[法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋y－12＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋200，所以直线l与圆C相交．故选A.法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋115，故直线l与圆相交，选A.法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．故选A.]2．“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．]3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是__________________________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－3＜k＜3.法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即2k2＋1＞1，解得－3＜k＜3.答案：－3＜k＜3判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点二直线与圆相交、相切问题(多维探究)[命题角度1]求弦长或由弦长求直线(圆)的方程1．(经典高考)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10解析：C[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，得D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y2＋4y－20＝0的两根，由根与系数的关系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，故|MN|＝|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝16＋80＝46.故选C.]弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.[提醒]代数法计算量较大，我们一般选用几何法．[命题角度2]由弦长求参数取值(范围)2．(2019·南充市一模)已知直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点．若圆周上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则实数m的值为________.解析：根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点．因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB＝120°.由余弦定理得|AB|＝23，∴|BD|＝3，|OD|＝1，∴O(0,0)到直线AB的距离|m|2＝1，解得m＝±2.答案：±2解决与弦长有关参数或取值范围问题，一般是找到与弦长公式l＝2r2－d2有关的方程或不等式，解方程或不等式即可．[命题角度3]求切线方程(切线长)3．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.若过点A的圆的切线只有一条，则切线方程为______________________.解析：由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±3.当a＝3时，A(1，3)，切线方程为x＋3y－4＝0；当a＝－3时，A(1，－3)，切线方程为x－3y－4＝0，答案：x＋3y－4＝0或x－3y－4＝04．(2019·武汉市模拟)已知直线l：mx＋y－1＝0(m∈R)是圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的对称轴，过点A(－2，m)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为()A．4B．25C．42D．3解析：A[∵圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝4，表示以C(2，－1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：mx＋y－1＝0经过圆C的圆心(2，－1)，故有2m－1－1＝0，∴m＝1，点A(－2,1)．∵AC＝20，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝20－4＝4.故选A.]1．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解，利用点斜式直接求解；若点在圆外，有两解．设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况．2．切线长问题，利用圆心到定点的距离，半径，切线长三者之间的勾股定理来解决．[命题角度4]圆的最值问题5．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析：解法一：设A(1,0)，由mx－y－2m－1＝0，得m(x－2)－(y＋1)＝0，则直线过定点P(2，－1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程．当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大．此时，半径为|AP|＝2－12＋－1－02＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r＝|m＋1|1＋m2＝m2＋2m＋1m2＋1＝1＋2mm2＋1，当m0时，1＋2mm2＋11，故1＋2mm2＋1无最大值；当m＝0时，r＝1；当m0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取等号)．所以r≤1＋1＝2，即rmax＝2，故半径最大的圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝2对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．考点三圆与圆的位置关系(子母