2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第3节 圆的方程课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节圆的方程第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养．2.与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养．3.与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程一般方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心坐标(a，b)－D2，－F2半径r12D2＋E2－4F充要条件D2＋E2－4F＞02.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.1.圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中r为定值，a，b是参数．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()解析：(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1时才表示圆．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√[小题查验]1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：C[要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．]2．(2019·西城区模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－3，3)C．(－2，2)D.－22，22解析：C[∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)24，解得－2m2，选C.]3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B．2C.2D．22解析：C[由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋－12＝2.故选C.]4．[人教A版教材P124A组T4改编]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________________.解析：设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝105．(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－540，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4)5考点一确定圆的方程(自主练透)[题组集训]1．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：F＝01＋1＋D＋E＋F＝04＋0＋2D＋F＝0，解得D＝－2E＝0F＝0，则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝02．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为______________.解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a0)，由题意可得|2a|5＝455，0－a2＋52＝r2，解得a＝2，r2＝9，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的方程为______________________________________________________.解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F0)则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根，∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为k＋22，2k＋12.∵圆C在点P处的切线斜率为1，∴kCP＝－1＝2k＋12－k，∴k＝－3.∴D＝1，E＝5，F＝－6.∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.答案：x2＋y2＋x＋5y－6＝01．求圆的方程，一般采用待定系数法(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程．2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的垂直平分线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．考点二与圆有关的最值、范围问题(多维探究)[命题角度1]与圆的几何性质有关的最值1．点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________.解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.易知点P(1,2)在圆外．∴点P到圆心C的距离为：|PC|＝k＋12＋32＝k＋12＋9≥3.∴|PC|min＝3.∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.答案：21．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值．2．与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为|AO|－r，最大为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．[命题角度2]截距型最值问题2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则求y－x的最大值和最小值．直观想象、数学运算——直线与圆位置关系应用中的核心素养以直线与圆位置关系的相关知识为基础，借助直线和方程、圆与方程，来解决最值问题，提升了直观想象、数学运算的核心素养．具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学运算已知圆的方程x2＋y2－4x＋1＝0圆心(2,0)，半径3求y－x的最大值和最小值设b＝y－x，则y＝x＋b，因此y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距直观想象：数形结合，发现当直线y＝x＋b与圆x2＋y2－4x＋1＝0相切时，纵截距b取得最大值或最小值．数学运算：利用点到直线的距离公式得|2－0＋b|2＝3解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解．[命题角度3]斜率型最值问题3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________.解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.答案：3－3形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题．[命题角度4]距离型最值问题4.在[命题角度2]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是2－32＝7－43.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．