2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系课件

高考总复习艺考生山东版数学第2节两直线的位置关系第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1.两条直线的位置关系的判定，达成直观想象和数学运算的素养．2.距离问题的求解，达成直观想象和数学运算的素养．3.对称问题的求解，提升逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养高考对本部分的考查为两点间的距离和点到直线的距离，常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会单独命制新定义题目．题型以选择题、填空题为主，属中低档题型1．两条直线位置关系的判定直线方程斜截式一般式位置关系y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2≠0或A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2＝0或A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1＝02.三种距离(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.3．两种对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(5)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√[小题查验]1．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2解析：C[法一：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.法二：因已知两条直线平行，所以k＝3或k≠3，k－32k－3＝4－k－2≠13解得k＝3或k＝5.故选C.]2．(2019·南宁市模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0解析：D[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.]3．(2019·呼和浩特市一模)设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若|AM|＝12|PQ|，则m的值为()A．2B．－2C．3D．－3解析：A[根据题意画出图形，如图所示．直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A；M为PQ的中点，若|AM|＝12|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.故选A.]4．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________.答案：4x－3y－6＝05．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________.解析：由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB中点在直线ax＋y＋1＝0上，所以a＝12或－4.答案：12或－4考点一两条直线的位置关系(自主练透)[题组集训]1．(2019·资阳市模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为()A．－1或2B．0或2C．2D．－1解析：D[由a·a－(a＋2)＝0，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1.经过验证可得：a＝2时两条直线重合，舍去．∴a＝－1.故选D.]2．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．故选A.]3．(2019·西安市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________.解析：由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b＝13＋6ab＋6ba≥13＋26ab·6ba＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.答案：251．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．考点二距离问题(师生共研)[典例](1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)(2)若直线l1：x－2y＋m＝0(m0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－1D．2(3)过P(2，－1)点且与原点距离为2的直线l的方程为________.解析：(1)设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．(2)∵直线l1：x－2y＋m＝0(m0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为5，∴n＝－2，|m＋3|5＝5，∴n＝－2，m＝2，或m＝－4(负值舍去)．∴m＋n＝0.](3)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，此时l的方程为x＝2；②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得|－2k－1|1＋k2＝2，∴k＝34，∴l的方程为3x－4y－10＝0.综上，所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.答案：(1)C(2)A(3)x＝2或3x－4y－10＝0距离问题的常见题型与求解策略题型求解策略已知距离，求点的坐标或点的个数借助于距离公式，建立方程(组)求解或判断解的个数即可．已知距离求参数值可利用距离公式得出方程，解方程求得．已知距离，求直线方程立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．与距离最值有关的问题一是转化为几何问题，利用几何知识求解，二是借助于基本不等式或函数性质求解.[跟踪训练]1．(2019·广州市模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是____________.解析：由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]2．(2019·厦门市模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________.解析：依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以c2＋132＋－22＝21313，解得c＝2或－6.答案：2或－63．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________.解析：直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝2－12＋1＋32＝25，所以点P(2,1)到直线l的最大距离为25.答案：25考点三对称问题(多维探究)[命题角度1]点关于点的对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.点关于点的对称问题．实际是个中心对称问题，利用中点坐标公式易得：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.[命题角度2]点关于线对称2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．解：设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，故A′－3313，413.点关于线的对称点．牢记两点：(1)点与对称点的中点在已知直线上；(2)点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；设点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.[跟踪训练]若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.答案：345[命题角度3]线关于线对称3．在[角