2020届新高考数学艺考生总复习 第六章 立体几何 第7节 立体几何中的向量方法 第1课时 证明空间

高考总复习艺考生山东版数学第7节立体几何中的向量方法第一课时证明空间位置关系第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.理解直线的方向向量及平面的法向量．2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理1.利用空间向量证明平行或垂直，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养．2.与平行、垂直有关的探索性问题，增强逻辑推理、数学运算、数学建模的素养2020年高考还是以考查空间的位置关系为主，首先建立适当的坐标系，找准点的坐标，把所有问题转化为坐标运算．主要以解答题的第一问出现，难度不大，属中低档题型，但要注意运算的准确性1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0l∥αn⊥m⇔n·m＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml⊥αn∥m⇔n＝λmα∥βn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα⊥βn⊥m⇔n·m＝01.直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量．2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．()(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.()(5)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.()(6)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对解析：C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．]2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2解析：C[因为α∥β，所以1－2＝2－4＝－2k，所以k＝4.]3．(2019·桂林市模拟)已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析：A[因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，所以n⊥α，又A选项中P(2,3,3)，所以MP→＝(1,4,1)，因此有n·MP→＝6×1＋4×(－3)＋6×1＝0，故选A.]4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1)B．(1，－1,1)C.－33，－33，－33D.33，33，－33解析：C[设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则n·AB→＝0，n·AC→＝0，化简得－x＋y＝0，－x＋z＝0，∴x＝y＝z.]5．[人教A版教材P111T3改编]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.解析：以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1，AM→·ON→＝0，1，12·0，－12，1＝0，∴ON与AM垂直．答案：垂直考点一利用空间向量证明平行或垂直(自主练透)[题组集训]1．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN⊥AB，MN⊥CD.证明：设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.2．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)DE→＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量为AA1→＝(0,0,4)，∵DE→·AA1→＝0，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)B1F→＝(－2,2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，∴B1F→⊥EF→，B1F⊥EF，B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B1F→⊥AF→，∴B1F⊥AF.∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.3．(2019·深圳市模拟)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.证明：由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．(1)由题意知AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又A1B1∩A1C1＝A1，所以AA1⊥平面A1B1C1.因为AA1→＝(2,0,0)，MN→＝(0,1,1)，所以MN→·AA1→＝0，即MN→⊥AA1→.故MN∥平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为MB→＝(－1,2,0)，MC1→＝(1,0,2)，所以n1·MB→＝0，n1·MC1→＝0－x1＋2y1＝0，x1＋2z1＝0，令x1＝2，则平面MBC1的一个法向量为n1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2＝(0,1,1)．因为n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤1．坐标运算法第一步：寻找空间几何体中的垂直关系，选取原点，建立适当的空间直角坐标系；第二步：用向量表示空间几何体中的点、线和平面等元素，建立空间图形与空间向量的联系；第三步：进行空间向量的坐标运算；第四步：将空间向量运算的结果转化为空间图形中待证的结论．2．基底向量法第一步：适当选取不共线的三个向量作为基底；第二步：空间几何体中待证的结论用基底向量表示出来；第三步：进行基底向量的线性运算与数量积运算；第四步：将空间向量运算的结果转化为空间图形中待证的结论．考点二与平行、垂直有关的探索性问题(多维探究)[命题角度1]探索性问题与平行相结合1．如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°.∴A1O2＝AA21＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AA21，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(－3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(0,2,3)．由于BD→＝(－23，0,0)，AA1→＝(0,1，3)．AA1→·BD→＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0.∴BD→⊥AA1→，即BD⊥AA1.(2)由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(1,0,0)．设n2＝(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，则n2·AA1→＝0，n2·AD→＝0，即y＋3z＝0，－3x＋y＝0，取n2＝(1，3，－1)，则〈n1，n2〉即为二面角D－A1A－C的平面角，∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝55，所以，二面角D－A1A－C的余弦值为55.(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1.设CP→＝λCC1→，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，3)．从而有P(0,1＋λ，3λ)，BP→＝(－3，1＋λ，3λ)．设n3＝(x3，y3，z3)⊥平面DA1C1，则n3⊥A1C1→，n3⊥DA1→，又A1C1→＝(0,2,0)，DA1→＝(3，0，3)．则2y3＝0，3x3＋3z3＝0，取n3＝(1,0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，则n3⊥BP→，即n3·BP→＝－3－3λ＝0，得λ＝－1.即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．[跟踪训练]如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB.(1)若F为CD的中点，求证：EF⊥平面BCD；(2)在线段AC上是否存在点N，使CD∥平面BEN？若存在，求ANNC的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设ED的中点为H，AB的中点为O，由题意知OH∥AE.因为平面ABDE⊥平面ABC，AE⊥AB，平面ABDE∩平面ABC＝AB，所以AE⊥平面ABC，所以HO⊥平面ABC.又△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB.故以O为坐标原点，射线OC，OB，OH分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设AE＝1，AB＝2a，则A(0，－a,0)，B(0，a,0)，C(3a,0,0)，D(0，a,2)，E(0，－a,1)，F32a，a2，1∴EF→＝32a，3a2，0，BC→＝(3a，－a,0)，BD→＝(0,0,2)⇒