2020届新高考数学艺考生总复习 第六章 立体几何 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件

高考总复习艺考生山东版数学第5节直线、平面垂直的判定与性质第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1.垂直关系的基本问题，达成直观想象、逻辑推理的素养．2.直线与平面垂直的判定与性质及平面与平面垂直的判定与性质的理解与运用，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养．3.线面角与二面角的求解，提升逻辑推理和数学运算的素养2020年高考证明垂直的题型预计有两类：1.线面垂直的判定与证明．2.利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直．是高考重点考查内容，主要以解答题形式出现，属中低档题型．3.证明垂直问题可以用常规法证明，也可以通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°角．因此，直线与平面所成的角的范围是0，π2.3．二面角(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如下图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则射线PA和PB构成的∠APB叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角的取值范围是[0，π].平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)找二面角的平面角的方法①垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角．②平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：A[选项A，∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定，B错误；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交，C错误；选项D，∵α∥β，l⊂α，m⊂β，此时，l与m的位置关系不确定，D错误．故选A.]2．(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：C[根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那么也垂直于斜线在平面内的射影，A.若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，很显然不成立；B.若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；C.若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立，D.若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立，故选C.]3.已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD解析：D[A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF.又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．]4．[人教A版教材P67T2改编]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．解析：(1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂5．将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.解析：如图，取AC的中点O，连接DO，BO，BD，则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB＝90°.设正方形边长为1，则DO＝BO＝22，所以DB＝1，故△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝60°.答案：60°考点一垂直关系的基本问题(自主练透)[题组集训]1．(2019·银川市模拟)α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是()A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．如果m⊥n，n⊥α，m∥β，那么α⊥β解析：D[由α，β是两个平面，m，n是两条直线，可知：在A中，如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中，如果m⊂α，α∥β，那么由面面平行的性质定理得m∥β，故B正确；在C中，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由线面平行的性质定理得m∥l，故C正确；在D中，如果m⊥n，n⊥α，m∥β，那么α与β相交或平行，故D错误．故选D.]2．(2019·泰安一模)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：D[A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选D.]3．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是________(填序号)解析：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β.故正确；④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确．答案：②③④解决垂直关系的基本问题要注意(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成印象来判断．(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了．(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．考点二直线与平面垂直的判定与性质(师生共研)[典例](2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．[解](1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°，由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.1．证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③面面平行的性质：a⊥α，α∥β⇒a⊥β；④面面垂直的性质α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α.2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[跟踪训练](2017·高考全国Ⅲ卷)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解析：(1)证明：取AC中点O，连OD，OB.∵AD＝CD，O为AC中点，∴AC⊥OD.又∵△ABC是等边三角形，∴AC⊥OB.又∵OB∩OD＝O，∴AC⊥平面OBD，BD⊂平面OBD，∴AC⊥BD.(2)设AD＝CD＝2，∴AC＝22，AB＝CB＝22.又∵AB＝BD，∴BD＝22，∴△ABD≌ΔCBD，∴AE＝EC.又∵AE⊥EC，AC＝22，∴AE＝EC＝2.在△ABD中，设DE＝x，根据余弦定理cos∠ADB＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝AD2＋DE2－AE22AD·DE＝22＋222－2222×2×22＝22＋x2－222×2×x，解得x＝2，∴点E是BD的中点，则VD－ACE＝VB－ACE，∴VD－ACEVB－ACE＝1.考点三平面与平面垂直的判定与性质(师生共研)[典例](2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．直观想象、逻辑推理——立体几何证明中体现的核心素养以常见的空间几何体为载体，以空间点、线、面的位置关系为基础，以相应的概念、定理、性质、法则为出发点，借助几何直观和空间想象，通过逻辑思维和逻辑推理，正确解决立体几何中的证明问题．