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高考总复习艺考生山东版数学第3节空间点、直线、平面之间的位置关系第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.平面的基本性质及应用，增强逻辑推理和数学抽象的素养．2.空间两直线的位置关系，达成直观想象和逻辑推理的素养．3.异面直线所成的角，提升直观想象、数学抽象和数学运算的素养2020年高考预计以几何体为载体，考查与点、线、面的位置关系等有关命题真假的判断、求异面直线所成的角是高考考查的重点．判断空间线面的位置关系可以用相关定理进行判断．也可以构造长方体模型来判断，还可以直接举反例来判断。题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型1．平面的基本性质图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a2.空间两条直线的位置关系位置关系的分类共面直线①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．3．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行.4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：0，π2.6．空间直线、平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交a∩α＝A1个平行a∥α0个直线与平面在平面内a⊂α无数个平行α∥β0个平面与平面相交α∩β＝l无数个1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.()(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(5)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．()(6)没有公共点的两条直线是异面直线．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×[小题查验]1．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析：C[A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；B中，m与n也有可能平行，B错误；C中，根据线面平行的性质可知C正确；D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.]2．(人教A版教材习题改编)空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：B[顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形．]3．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点则这四个点不共面的一个图是()解析：D[A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4．已知直线a，b，c，有下面四个命题：①若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的序号是__________.解析：①a，c可能相交、平行或异面；②a，c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面．答案：③5．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④考点一平面的基本性质及应用(多维探究)[命题角度1]证明点、线共面1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，因为G、H分别为FA、FD的中点，所以GH∥AD且GH＝12AD，又BC∥AD且BC＝12AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝12AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(3)反证法．提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明．[跟踪训练]如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：A[连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.][命题角度2]证明三线共点2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面．(2)CE，D1F，DA交于一点．证明：(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，即EF与CD1确定一个平面α.且E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)可知，EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形．所以CE与D1F必相交．设交点为P，如图，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一点．证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线．[跟踪训练]如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．解：(1)∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3，∴AH∶HD＝3∶1.(2)证明：∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴EH、FG、BD三线共点．[命题角度3]证明三点共线3．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线．[跟踪训练]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系(自主练透)直观想象——空间中线线位置关系中的核心素养平面几何和立体几何在线与线的位置关系中是不同的，借助确定的空间几何体模型，利用直观想象来研究和判定线与线的位置关系显得尤为重要．[题组集训]1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1解析：D[只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．]2．(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：B[本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系．∵ΔBDE中，N为BD中点，M为DE中点，∴MN∥EB，∴MNEB四点共面．∴BM，EN共面相交，选项C，D为错．作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F.连BF，∵平面CDE⊥平面ABCD.EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∵ΔMFB与ΔEON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝3，ON＝1，EN＝2，MF＝32，BF＝22＋94＝52，∴BM＝34＋254＝7.∴BM≠EN，故选B.]3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；