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高考总复习艺考生山东版数学第1节空间几何体的结构特征、直观图第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图1.空间几何体的结构特征，达成直观想象和数学运算的素养．2.空间几何体的直观图，提升直观想象和数学运算的素养本部分是高考中的重点考查内容，题型以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象力，难度不会太大，属中低档题型，考查考生转化与化归、数形结合等数学思想的运用1．多面体的结构特征图形结构特征棱柱两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行棱锥底面是多边形，侧棱交于一点棱台上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点2．旋转体的结构特征图形结构特征圆柱两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形圆锥底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形球过球心的截面是大小相等的圆3.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”平行性不改变与x，z轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)球的任何截面都是圆．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()(5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A＝45°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：B[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：C[当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．]3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：C[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]4．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．解析：①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．答案：①②④5．[人教A版教材P8T1改编]如图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．答案：③⑤考点一空间几何体的结构特征(自主练透)[题组集训]1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：B[A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．]2．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：D[A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥；C错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形；由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长；D正确．]3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；其中正确命题的序号是__________.解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④1．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．2．解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．考点二空间几何体的表面展开与折叠(多维探究)直观想象——空间几何体结构特征中体现的核心素养直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．空间几何体的展开与折叠问题能够大力发展学生的直观想象、动手操作和尝试探究的数学素养．[命题角度1]空间几何体表面的折叠1．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：B[将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．]解答空间几何体表面的折叠问题，要结合空间几何体的定义和结构特征，发挥空间想象能力．必要时可制作平面展开图进行实践．[跟踪训练]在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()解析：C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．][命题角度2]空间几何体表面的展开2．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()A．10cmB.52π2＋4cmC．52cmD．5π2＋1cm解析：B[如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝AB＝12×2π×52＝52π.∴A′C＝A′B2＋BC2＝254π2＋25＝5π24＋1＝52π2＋4.]空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．[跟踪训练](2019·洛阳市一模)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________cm.解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2＝12，宽等于5，由勾股定理d＝122＋52＝13.答案：13考点三空间几何体的直观图(师生共研)[典例]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2[解析]D[如图所示为原图形和其直观图．由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.][互动探究]若本例中，将“△ABC的边长为a”改为“△A′B′C′的边长为a”，则△ABC的面积为________.解析：建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.答案：62a2直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．[跟踪训练]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2B．42cm2C．8cm2D．82cm2解析：C[解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.故选C.解法二：依题意可知，S直观图＝22cm2，故S原图形＝22S直观图＝8cm2.故选C.]