2020届新高考数学艺考生总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量的

高考总复习艺考生山东版数学第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差第九章计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1.离散型随机变量的分布列，达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养．2.离散型随机变量的期望与方差，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养．3.超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养2020年的高考预计与分布列相结合，考查期望、方差，通过设置密切贴近现实生活的场景，考查概率思想的应用意识和创新意识．一般以解答题形式出现，难度中等1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝13．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkM·Cn－kN－MCnN，(k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN4.离散型随机变量X的均值与方差(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)方差：称D(X)＝∑n,i＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．(3)均值与方差的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)1.随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．()(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(4)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布．()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5解析：C[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.]2．(人教A版教材P49A组T5改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.12C.13D.23解析：C[设失败率为p，则成功率为2p.X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，∴由p＋2p＝1得p＝13，故选C.]3．已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA.19B.29C.13D.23解析：B[由已知得m＋2m＝1得m＝13，由于X服从两点分布，所以D(X)＝m·2m＝29.]4．(2019·石家庄市模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________.解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.答案：272205．设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又E(ξ)＝3，则a＋b＝________.解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，又E(ξ)＝30a＋10b＝3，解得a＝110，b＝0，所以a＋b＝110.答案：110考点一离散型随机变量的分布列(自主练透)[题组集训]1．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610.故X的分布列为X200300400P110310610E(ξ)＝200×110＋300×310＋400×610＝20＋90＋240＝350.2．(2019·赣州市模拟)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P(ξ＝k)＝Ck3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184.ξ的分布列为ξ0123P5211528314184求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．考点二离散型随机变量的期望与方差(师生共研)[典例](2019·贵阳监测)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图①和②.现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地．(1)求图①中a的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)中的选择方案，求X的分布列和数学期望．[解](1)(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1，解得a＝0.03，用Ai表示甲选择Li(i＝1,2)在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li(i＝1,2)在50分钟内从A地到B地，则P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，P(B2)P(B1)，所以乙应选择L2.(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值为0,1,2.由题意知，M，N相互独立，所以P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54，所以X的分布列为X012P0.040.420.54所以E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)；(5)由方差的定义求D(ξ)．[跟踪训练]随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化。某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则A表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C13C12C15C15＝1925.(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，则P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.所以X的分布列为X0123P72421407401120E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.考点三超几何分布(师生共研)[典例](2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．[解析](1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.(ⅱ)设事件B为