2020届新高考数学艺考生总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合课件

高考总复习艺考生山东版数学第2节排列与组合第九章计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.理解排列、组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能解决简单的实际问题1.排列问题，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养2.组合问题，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养．3.分组分配问题，提升数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养预计2020年的高考如果独立考查排列组合，则以选择题、填空题的形式出现；如果联合考查，则会在解答题中与概率分布等综合命题．总的来说，难度不大，中档题型排列与组合排列与排列数组合与组合数定义排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合定义排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质Ann＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！；0！＝1C0n＝1；Cmn＝Cn－mn；Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1备注n、m∈N*且m≤n解决排列组合问题“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)Amn＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m).()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(4)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立．()(5)C22＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝C3n＋1()(6)Amn＝nAm－1n－1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·长沙市模拟)考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种B．60种C．125种D．243种解析：B[依题意，满足题意的不同的填法共有A35＝60种，故选B.]2．(人教版教材P19例4改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8B．24C．48D．120解析：C[分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48(种)排法．故选C.]3．(2019·贵阳市模拟)有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种解析：C[恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有A33A24＝72(种)坐法．故选C.]4．(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：当有1位女生入选时，有C12C24＝12(种)，当有2位女生入选时，有C22C14＝4(种)，由分类加法计数原理可得不同选法共有12＋4＝16(种)．答案：165．将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有________种．(用数字作答)解析：分类即可，共有C27＋C37＋C47＝21＋35＋35＝91(种)放法．答案：91考点一排列问题(自主练透)[题组集训]1．(2019·滨州市一模)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是()A．40B．36C．32D．24解析：B[甲站第2个位置，则乙站1,3中的一个位置，不同的排法有C12A33＝12(种)；甲站第3个位置，则乙站2,4中的一个位置，不同的排法有C12A33＝12(种)；甲站第4个位置，则乙站3,5中的一个位置，不同的排法有C21A33＝12(种)，故共有12＋12＋12＝36(种)．故选B.]2．某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为()A．840B．720C．600D．30解析：B[由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C12·C35·A44＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C25·A44＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.]3．某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．解析：当甲、乙在第二排且相邻时有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法，当甲、乙在第三排且相邻时有A22A44＝2×4×3×2×1＝48(种)排法，所以不同的安排方法总数为144种．答案：1444．(2019·武汉市调研)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．解：(1)从7个人中选5个人来排列，有A57＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37(种)方法，余下4人排在后排，有A44(种)方法，故共有A37·A44＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576(种)．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440(种)．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有A22种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A35种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A33种方法，故共有A22×A35×A33＝720(种)．求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法考点二组合问题(师生共研)[典例]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解析](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561(种)．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555(种)．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090(种)．组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．提醒：区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．[跟踪训练]1．(2019·自贡市模拟)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为()A．6B．32C．33D．34解析：C[不考虑限定条件确定的不同点的个数为C12C13A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33(个)，故选C.]2．(2019·大理市模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：D[因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同的取法．故选D.]3．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A．30种B．31种C．35种D．40种解析：B[分类：第一类，两人拿对：2×C25＝20(种)；第二类，三人拿对：C35＝10(种)；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31(种)．故选B.]考点三分组分配问题(多维探究)[命题角度1]整体均分问题1．9本不同的书分为三份，每份三本，有________种分法．解析：从9本书中任意选出3本，共有C39种方法，再从6本书中任意选出3本，共有C36种方法，剩下的3本书恰好分成一份，有C33(种)方法．共有C39C36C33A33＝210(种)方法．答案：210对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．[跟踪训练]国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90(种)分派方法．答案：90[命题角度2]部分均匀问题2．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．解析：先把4名