2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第12节 利用导数研究函数的极值、最值

高考总复习艺考生山东版数学第12节利用导数研究函数的极值、最值第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养．2.利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养．3.利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大1．函数极值的概念一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值.2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．(4)得极值，由表得极大值与极小值．3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值．4．利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(2)函数的极大值不一定比极小值大．()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．()(6)函数f(x)＝1x在区间[－1,1]上有最值．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×[小题查验]1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0解析：C[∵f(x)＝x4－2x2＋3，∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．]2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析：A[∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.②联立①②解得a＝1，b＝－3.经检验符合题意．]3．函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－1eD．不存在解析：C[y′＝ex＋x·ex，令y′＝0，则x＝－1，∵x－1时，y′0，x－1时，y′0，∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点，∴x＝－1时，ymin＝－1e，故选C.]4．(人教A版教材例题改编)函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0,3]上的最小值为________．答案：－435．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.解析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0x5)，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或x＝203(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：144考点一利用导数研究函数的极值(多维探究)[命题角度1]由函数图象判断其极值情况1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：D[由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．][命题角度2]利用导数求函数的极值2．已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为()A．2B．2ln2－2C．eD．2－e解析：B[函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝2f′1x－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2lnx－x，令f′(x)＝2x－1＝0，解得x＝2.当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln2－2.]运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．易错警示：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[命题角度3]已知极值求参数的取值3．(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：A[由题可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1，因为f′(－2)＝0，所以a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)ex－1，故f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1，令f′(x)0，解得x－2或x1，所以f(x)在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－1－1)e1－1＝－1.]4．(2019·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋ax＝2x2－x＋ax，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]已知函数极值点或极值求参数的两个要领1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．考点二利用导数研究函数的最值(师生共研)数学运算——利用导数法求最值中的数学素养利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的问题：一是函数的定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时，注意极值与最值的区别．[典例](2019·贵阳检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．[解](1)f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．所以f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，由f′(x)0，得0x1，由f′(x)0，得x1，所以f(x)＝1－1x－lnx的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由(1)得f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)在1e，e上的最大值为f(1)＝1－1－ln1＝0.又f1e＝1－e－ln1e＝2－e，f(e)＝1－1e－lne＝－1e，且f1ef(e)．所以f(x)在1e，e上的最小值为f1e＝2－e.综上所述，f(x)在1e，e上的最大值为0，最小值为2－e.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值．易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．[跟踪训练]已知函数f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.考点三利用导数研究生活中的优化问题(课堂共研)[典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底