2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件

高考总复习艺考生山东版数学第10节导数的概念与计算第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养．2.导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养．3.导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现．本节内容主要以选择题、填空题或解答题中第一问的形式出现，属于中低档题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2．函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．5．(理科)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”。(1)y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)若f(x)＝f′(a)x2＋lnx(a0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋1x.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√[小题查验]1．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：B[y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．]2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()解析：D[当x0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.]3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)()A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数解析：B[因为y＝f(x)是周期函数，所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．所以f′(x)为偶函数]4．[人教A版教材P18A组T6改编]曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为__________．解析：∵y′＝2x＋22，∴y′|x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________________．解析：y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex.∴y′|x＝0＝3.∴切线方程为y－0＝3(x－0)，即3x－y＝0.答案：3x－y＝0考点一导数的概念(自主练透)[题组集训]1．设f(x)是可导函数，且满足f1＋2x－f12x＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________.解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0，则有f1＋Δx－f1Δx＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1.答案：－12．用导数的定义求函数y＝1x在x＝1处的导数．解析：设f(x)＝1x，则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1＋Δx1＋1＋Δx1＋Δx1＋1＋Δx＝－Δx1＋Δx1＋1＋Δx，ΔyΔx＝－11＋Δx1＋1＋Δx，根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；考点二导数的计算(自主练透)[题组集训]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2；(5)y＝ln(2x－5)．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.(5)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.函数求导的遵循原则(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．考点三导数的几何意义及应用(多维探究)[命题角度1]求切线方程数学运算——求切线方程的“在”“过”两重天求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．1．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：D[因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D.]2．(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：C[∵y′＝2cosx－sinx，∴切线斜率k＝2cosπ－sinπ＝－2，∴在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.]已知切点A(x0，f(x0))，求切线方程的步骤：(1)求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，则过点P的切线方程为________．解析：(1)当P为切点时，由y′＝13x3＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－13x30＝x20(x－x0)，因为切线过点P2，83，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q－1，－13，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.答案：12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0[命题角度2]求切点坐标4．(2016·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：y＝lnx＋2的切线为y＝1x1·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)．y＝ln(x＋1)的切线为y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点横坐标为x2)．∴1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝lnx2＋1－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln2[命题角度3]求参数的值5．(2018·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：因为y′＝1＋1x，所以y′|x＝1＝2，故切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立2x－y－1＝0y＝ax2＋a＋2x＋1，由Δ＝0，得a＝8.答案：8导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．