2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第4节 指数与指数函数课件

高考总复习艺考生山东版数学第4节指数与指数函数第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.通过对有理数指数幂a(a0，且a≠1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养．2.指数函数的图象及应用，达成直观想象和逻辑推理素养．3.指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养幂的运算性质、指数函数的图象和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题1．根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.3．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1性质在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.(na)n＝a(n∈N*)．2.nan＝a，n为奇数，|a|＝a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数．3．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[小题查验]1．化简的结果为()A．－9B．7C．－10D．9解析：B[原式＝－1＝8－1＝7.]2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：A[∵y＝12x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．]3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)解析：A[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1,5).故选A.]4．[人教A版教材P59A组T7改编]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．解析：∵y＝35x是减函数，∴350，即ab1，又c＝320＝1，∴cba.答案：cba5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－2＜a＜－1或1＜a＜2.答案：(－2，－1)∪1，2考点一根式与有理数指数幂的运算(自主练透)[题组集训]1．下列等式能够成立的是()2．求值与化简．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及应用(师生共研)[典例](1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()[解析]A[(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质，故选A.](2)[2019·长春市模拟]若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)直观想象——函数图象在不等式中的具体应用信息提取信息解读直观想象存在正数x存在正数x，即x0，体现在图象上就是y轴的右侧将不等式2x(x－a)1变形为x－a12x题干给出的不等式2x(x－a)1不易求解，可转化为两个基本初等函数构成不等式x－a12x画出y＝12x的图象2x(x－a)1成立考虑利用初等函数的图象解决，即转化为直线y＝x－a在(0，＋∞)上，有一部分在曲线y＝12x的下方画出直线y＝x－a的图象，满足在y轴的右侧，有一部分在曲线y＝12x的下方求a的取值范围观察图象，写出满足的条件，即可求得结果根据在同一平面直角坐标系内直线y＝x－a与y＝12x的图象，列出有关a的不等式，求得结果[解析]D[第一步将不等式2x(x－a)1变形为两个基本初等函数构成的不等式不等式2x(x－a)1可变形为x－a12x.第二步画出函数y＝12x与y＝x－a的图象在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．第三步观察图象，列出有关a满足的条件观察可知，有－a1，所以a－1.](3)(2019·衡水市模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.[解析]曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．[答案][－1,1][互动探究]1．若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)2．若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是________．解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]3．若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是______．解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜12，如图(2)．综上，a的取值范围是0，12.答案：0，12指数函数图象可解决的两类热点问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．易错警示：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论．[跟踪训练]1．函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()解析：D[法一：当0a1时，函数y＝ax－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.]2．方程2x＝2－x的解的个数是________．解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案：1考点三指数函数的性质及应用(多维探究)[命题角度1]比较指数式的大小1．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：B[∵a＝log0.22＜log12＝0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.][命题角度2]简单的指数方程或不等式的应用2．设函数f(x)＝12x－7，x＜0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：C[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为12a－7＜1，即12a＜8，即12a＜12－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.][命题角度3]探究指数型函数的性质3．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[思路导引](1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，由此可求出a的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y＝13g(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．