2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节函数的奇偶性与周期性第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义．4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性1.判断函数的奇偶性，发展数学抽象和逻辑推理素养．2.函数奇偶性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养．3.函数周期性的应用，发展数学抽象和逻辑推理素养．4.函数基本性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及到三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大．本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝偶函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．2．函数周期性的三个常用结论对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a0)：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2020)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√[小题查验]1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析：B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝13，则a＋b＝13.]2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12xB．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x解析：A[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.]3．(2019·葫芦岛市一模)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－1fx，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B.110C．－10D．－110解析：B[因为f(x＋3)＝－1fx，故有f(x＋6)＝－1fx＋3＝－1－1fx＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的函数．所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－1f2.5＝－1f－2.5＝－14×－2.5＝110.]4．(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：D[当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝e－x－1，即f(x)＝－e－x＋1.]5．(人教A版教材P39A组T6改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．解析：由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．答案：(－2,0)∪(2,5]考点一判断函数的奇偶性(自主练透)[题组集训]1．下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x解析：D[因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A项；因为y＝|sinx|为偶函数，所以排除B项；因为y＝cosx为偶函数，所以排除C项；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D项．]2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：C[依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A项错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B项错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C项正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D项错．]3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg1－x2|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解：(1)由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由1－x20，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－20，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－x2－x.又∵f(－x)＝lg[1－－x2]x＝－lg1－x2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：①“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数奇偶性的应用(多维探究)[命题角度1]利用奇偶性求函数值1．(2019·潍坊市一模)若函数f(x)＝log3x－2，x0gx，x0为奇函数，则f(g(－3))＝()A．－3B．－2C．－1D．0解析：B[法一：∵函数f(x)＝log3x－2，x0gx，x0为奇函数，∴g(－3)＝－f(3)＝－(log33－2)＝1，∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.法二：当x0时，－x0，f(－x)＝log3(－x)－2，∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2，即g(x)＝－log3(－x)＋2，∴g(－3)＝－log33＋2＝1，∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.][命题角度2]利用奇偶性求参数值2．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：法一：由题意得f(x)＝xln(x＋a＋x2)＝f(－x)＝－xln(a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1a＋x2－x，解得a＝1.法二：由f(x)为偶函数，得g(x)＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，则有g(－x)＝－g(x)，即ln(a＋x2－x)＝－lnx＋a＋x2，所以a＋x2＋x＝1a＋x2－x，解得a＝1.答案：1[命题角度3]利用奇偶性求解析式3．(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝____________.解析：f(ln2)＝－f(－ln2)＝e(－aln2)＝eln2－a＝2－a＝8，∴a＝－3.答案：－3[命题角度4]利用奇偶性的图象特征解不等式[典例]已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，求不等式fxgx＜0的解集．信息提取信息解读逻辑推理y＝f(x)是偶函数偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称解分式不等式＜0⇔f(x)·g(x)＜0⇔x∈[0,3]时，由图象直接判断；x∈[－3,0]时，根据奇偶性补全图象后判断取并集，得到分式不等式的解集y＝g(x)是奇函数定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示题干已给出x∈[0,3]上的图象，可根据奇偶性的图象特征补上x∈[－3,0]上的图象不等式＜0此分式不等式可等价转化为分子、分母相乘的不等式，最终还是判断f(x)与g(x)在定义域内的正负值情况逻辑推理——函数图象与性质在函数中具体应用的核心素养．具体见下表：[解析]第一步根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在整个定义域上的图象y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3,0]上的图象如图所示，第二步将分式不等式等价转化fxgx＜0等价于fx＞0，gx＜0或fx＜0，gx＞0，第三步根据图象，分别解两个不等式组由图可知f(x)＞0，g(x)＜0时，－2＜x＜－1或0＜x＜1，f(x)＜0，g(x)＞0时，2＜x＜3.第四步根据求解结果取并集可求得其解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}．画函数图象：根据奇偶函数