2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值课件

高考总复习艺考生山东版数学第2节函数的单调性与最值第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养．2.确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养．3.确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养．4.函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x20(或0)，f(x1)－f(x2)0(或0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x20(或0)，f(x1)－f(x2)0(或0)⇔f(x)在D上单调递减；②fx1－fx2x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递增；③fx1－fx2x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递减．2．对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)；减区间为[－a，0)和(0，a]，且对勾函数为奇函数．3．单调函数的运算性质(1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数；②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数；(2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①当a0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与1fx有相反的单调性；③若f(x)≥0，则f(x)与fx具有相同的单调性．4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．()(2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在D上是增函数．()(6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·合肥调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝1x－xB．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝ex－x解析：A[对于A选项，y1＝1x在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝1fx的单调区间表述正确的是()A．在[－1,1]上单调递减B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增C．在[5,7]上单调递减D．在[3,5]上单调递增解析：B[由图象可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝1fx无意义，故排除A，C，D.故选B.]3．(2019·郑州模拟)函数的单调递增区间为()A．(1，＋∞)B.－∞，34C.12，＋∞D.34，＋∞解析：B[易知函数y＝13t为减函数，t＝2x2－3x＋1的单调递减区间为－∞，34.∴函数的单调递增区间是－∞，34.]4．函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是____________________．解析：f(x)＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝43，f(x)min＝f(1)＝1.答案：43，15．已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)____f(n)；若f1xf(1)，则实数x的取值范围是________．解析：由题意知f(m)f(n)；1x1，即|x|1，且x≠0.故－1x1且x≠0.答案：(－1,0)∪(0,1)考点一函数单调性的判断或证明(自主练透)逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．[题组集训]1．(2019·南宁模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是()A．y＝－x＋1B．y＝11－xC．y＝－(x－1)2D．y＝31－x解析：B[函数y＝－x＋1在(1，＋∞)上为减函数；y＝11－x在(1，＋∞)上为增函数；y＝－(x－1)2在(1，＋∞)上为减函数；y＝31－x在(1，＋∞)上为减函数，故选B.]2．判断并证明函数f(x)＝axx2－1(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．证明：法一(定义法)：设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1x1x21，∴x2－x10，x1x2＋10，(x21－1)(x22－1)0.因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数.法二(导数法)：f′(x)＝ax2－1－2ax2x2－12＝－ax2＋1x2－12.又a＞0，所以f′(x)0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤易错警示：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．考点二确定函数的单调区间(课堂共研)[典例](1)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.0，12B．[a，1]C．(－∞，0)∪12，＋∞D.a，a＋1[解析](1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)由图象知f(x)在(－∞，0]和12，＋∞上单调递减，而在0，12上单调递增．又0a1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈0，12，即0≤logax≤12，解得x∈[a，1]．故选B.[答案](1)(－∞，－1]和[0,1][－1,0]和[1，＋∞)(2)B[互动探究]1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．若将本例题(2)中的“0a1”改为“a1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？解析：由例(2)解析知，需logax≤0或logax≥12，解得x≤1或x≥a，又x0，所以单调递减区间为(0,1]，[a，＋∞)．1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[跟踪训练]1．设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]解析：B[g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.]2．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：D[由x2－2x－80，得函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8，则y＝lnt.∵t＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，∴t＝x2－2x－8的单调增区间为(4，＋∞)．又y＝lnt是增函数，∴函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间为(4，＋∞)．]考点三确定函数的最值(值域)(师生共研)[典例](1)若函数f(x)＝1a－1x在12，2上的值域是12，2，则实数a的值为________．(2)函数f(x)＝x2＋8x－1(x1)的最小值为________．[解析](1)因为函数f(x)在区间12，2上是增函数，值域为12，2，所以f12＝12，f(2)＝2，即1a－2＝12