2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示课件

高考总复习艺考生山东版数学第1节函数的概念及其表示第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用1.函数的概念，感悟和发展数学抽象的素养2.函数的解析式，提升逻辑推理和数学运算的素养3.函数的定义域，发展数学抽象和提升逻辑推理的素养．4.分段函数及应用，提升逻辑推理和数学运算的素养以理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域为主，常与不等式相结合求函数的定义域、值域．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．分段函数主要涉及的是与其相关的函数值、方程或不等式，该部分内容高考中多以选择题或填空题的形式考查，难度不会太大，属于低中档题．主要考查考生的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及运算求解的能力1．函数与映射的概念类别函数映射两个集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数是特殊的映射，是A，B为非空数集的映射，其特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．()(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(5)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0，－1x＜0表示同一函数．()(6)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×[小题查验]1．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：B[由x≥0，1－x0，解得0≤x1，所以函数y＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．故选B.]2．已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，则ff14的值是()A．9B.19C．－9D．－19解析：B[f14＝log214＝log22－2＝－2，ff14＝f(－2)＝3－2＝19.]3．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()解析：C[由选项知A值域不是[0,1]，B定义域不是[0,1]，D不是函数，只有C符合题意.故选C.]4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案：[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]5．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.解析：由f(1)＝f(2)＝0，得12＋p＋q＝0，22＋2p＋q＝0，所以p＝－3，q＝2.所以f(x)＝x2－3x＋2，所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.答案：6考点一函数的概念(自主练透)[题组集训]1．下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B[①中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.]2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1解析：A[A.g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．B．f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．C．f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，∴两函数的定义域不同．D．f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.]3．设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝1x－1；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2x－2－x;⑤f(x)＝2sinx－1.其中是“美丽函数”的序号有______________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f(x)＝2sinx－1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．故本题正确答案为②③④.答案：②③④函数的三要素定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点二求函数的解析式(课堂共研)[典例](1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________________.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________．(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为_____________________________________．[解析](1)法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1.法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，x＋1≥1，即f(x)＝x2－1，x≥1.(2)法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．[答案](1)x2－1(x≥1)(2)f(x)＝－4x2＋4x＋7(3)f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)消去法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[跟踪训练]1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.答案：2x＋72．已知f2x＋1＝lgx，则f(x)的解析式为____________________．解析：令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x＞1)．答案：f(x)＝lg2x－1(x＞1)3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________.解析：在f(x)＝2f1x·x－1中，将x换成1x，则得f1x＝2f(x)·1x－1.由fx＝2f1x·x－1，f1x＝2fx·1x－1，解得f(x)＝23x＋13.答案：23x＋13考点三函数的定义域(多维探究)[命题角度1]求给定函数解析式的定义域1．函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a＞0且a≠1)的定义域为________________．解析：由1－|x－1|≥0，ax－1≠0，得0≤x≤2，x≠0，解得0＜x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]2．函数y＝lg2－x12＋x－x2＋(x－1)0的定义域是________．解析：由2－x0，12＋x－x20，x－1≠0得x2，－